2013-2017高考数学(文)真题分类汇编第3章 导数 第2节 导数的应用(1)

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1、第三章导数第2节导数的应用题型36利用导数研究函数的单调性1.（2013湖北文21）设，，已知函数．（1）当时，讨论函数的单调性；（2）当时，称为，关于的加权平均数．（i）判断，，是否成等比数列，并证明；(ii)，的几何平均数记为．称为，的调和平均数，记为.若，求的取值范围．1.分析（1）利用导数通过分类讨论求解；（2）①用等比中项证明成等比数列；②通过函数的单调性求解.解析（1）定义域为，.当时，，函数在上单调递增；当时，，函数在上单调递减.（2）①计算得，故①所以成等比数列.因为，即.由①得.②由①知，

2、故，得②当时，.这时，的取值范围为；当，时，从而，由在上单调递增与②式，得，即的取值范围为；当时，，从而，由在上单调递减与②式，得，即的取值范围为.2.(2013广东文21）设函数．(1)当，求函数的单调区间；(2)当，求函数在上的最小值和最小值．2.分析（1）求函数的单调区间，就是求不等式和的解集.（2）函数是一个三次函数，其导数为二次函数，因为不确定，故需要讨论判别式的符号，在时，通过表格列出函数在闭区间上的变化情况，比较区间商战的函数值和极值的大小确定最值.解析（1）当时，，因为，所以恒成立，所以函数

3、在上单调递增，故函数的单调递增区间为，函数没有单调递减区间.（2）当时，.①当时，，所以恒成立，所以函数在上单调递增，故.②当时，，由可求得方程的两个根为，因为（可以利用一元二次方程根与系数的关系进行判断：，从而），所以由可得，由可得，所以，随的变化情况如下表：极大值极小值所以.因为，所以，所以.又因为，（其中）所以，所以.综上所述，，.3.（2013山东文21）.已知函数．（1）设，求的单调区间；（2）设，且对任意，，试比较与的大小．3.分析（1）求的单调区间，需要对求导，当时，是增函数，当时，是减函数，

4、但是需要对参数和进行讨论.（2）的最小值为，当有唯一极小值点时，极小值就是最小值，然后构造函数求解.解析（1）由，得.①当时，.a.若，当时，恒成立，所以函数的单调递减区间是.b.若，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增.所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是.②当时，令，得.由，得.显然，.当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增.所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是.综上所述，当时，函数的单调递减区间是；当时，函数的单调递减区间是，单调递增区间是；当时，函数的单调递减区间是,单调递增区间是

5、.（2）由题意知函数在处取得最小值.由（1）知是的唯一极最小点，故.整理，得，即.令，则.令，得.当时，，单调递增；当时，，单调递减.因此.故，即，即.4.（2013四川文21）已知函数，其中是实数.设，为该函数图象上的两点，且.（1）指出函数的单调区间；（2）若函数的图象在点处的切线互相垂直，且，证明：；（3）若函数的图象在点处的切线重合，求的取值范围.4.分析第（1）问直线由二次函数、对数函数的图象求解；第（2）问由导数的几何意义知，并借助基本不等式求解；第（3）问中两直线重合的充要条件是两直线方程系数

6、成比例，求时需先分离出，再进一点利用导数求函数值域.解析（1）函数的单调递减区间为，单调递增区间为，.（2）证明：由导数的几何意义可知，点处的切线斜率为，点处的切线斜率为.故当点处的切线与点处的切线垂直时，有.因为，，所以.当时，对函数求导，得.因为，，所以，.因此（当且仅当，即且时等号成立）所以，函数的图象在点处的切线互相垂直时，有.（3）当或时，，故.当时，函数的图象在点处的切线方程为，即.当时，函数的图象在点处的切线方程为，即.两切线重合的充要条件是由①及知.由①②得.令，则，且.设，则.所以为减函数

7、.则，所以.而当且趋近于时，无限增大，所以的取值范围是.故当函数的图象在点处的切线重合时，的取值范围是.5.(2013湖南文21）已知函数.（1）求的单调区间；（2）证明：当时，.5.分析（1）求出函数的导数，解关于导数的不等式求得其单调区间.（2）根据函数的单调性及函数值的秸，设出有大小的两个值，通过与的大小，将问题转化为与的大小，从而得出结论.解析（1）函数的定义域为..当时，；当时，.所以的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）证明：当时，由于，故；同理，当时，.当时，不妨设，由（1）知，.下面证明：

8、，即证.此不等式等价于.令，则.当时，，单调递减，从而，即.所以.而，所以，从而.由于在上单调递增，所以，即.6.（2014新课标Ⅱ文11）若函数在区间单调递增，则的取值范围是（）.A.B.C.D.7.（2014山东文20）（本小题满分13分）设函数，其中a为常数.（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）讨论函数的单调性.8.（2014江西文18）（本小题满分12分）已知函数，其中.（1）当时，求的单调递增区间；