2013-2017高考数学(文)真题分类汇编第3章 第三章导数 第2节 导数的应用(2)

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1、第三章导数第2节导数的应用题型37利用导函数研究函数的极值与最值1（2013湖北文10）.已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（）.A．B．C．D．1.分析由已知得有两个正实数根，即的图象与轴有两个交点，从而得的取值范围.解析，依题意有两个正实数根.设，函数有两个零点，显然当时不合题意，必有；，令，得，于是在上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极大值，即，所以.故选B.2．(2013福建文12）设函数的定义域为，的极大值点，以下结论一定正确的是（）.A．B．是的极小值点C．是的极小值点D．是的极小值点2.分析不妨取函数，则，易判断为的极大值点，但显然不是最大值，故排除A.解析因为

2、，易知，为的极大值点，故排除B；又，易知，为的极大值点，故排除C；因为的图象与的图象关于原点对称，由函数图象的对称性可得应为函数的极小值点.故D正确.3.(2013安徽文20）设函数，其中，区间.（1）求的长度（注：区间的长度定义为）；（2）给定常数，当时，求长度的最小值.3.解同理科卷17题.4.（2013江西文21）设函数为常数且.(1)当时，求；(2)若满足但，则称为的二阶周期点，证明函数有且仅有两个二阶周期点，并求二阶周期点，；(3)对于（2）中，，设，，，记的面积为，求在区间上的最大值和最小值.4.分析（1）根据自变量的取值求出相应的函数值；（2）根据自变量的取值和二阶周期点

3、的定义解方程求出题目中的二阶周期点；（3）根据（2）的结果用参数表示出三角形的面积，通过导数求最值的方法得出最值.解析（1）当时，，.（2）当时，由，解得2，因为，故不是的二阶周期点；当时，由解得.因为，故为的二阶周期点；当时，由解得.因为，故不是的二阶周期点；当时，由解得.因为，故为的二阶周期点.因此，函数有且仅有两个二阶周期点，.（3）由（2）得，，则，，因为，有，所以（或令，，因为则在区间上的最小值为，故对于任意，.）则在区间上单调递增，故在区间上的最小值为，最大值为.5.（2013江苏20）设函数，，其中为实数.（1）若在上是单调减函数，且在上有最小值，求的取值范围；（2）若在

4、上是单调增函数，试求的零点个数，并证明你的结论.5.分析（1）通过在上恒成立，在有解求得的取值范围；（2）由在上恒成立得出的取值范围，然后对进行讨论，研究的零点.解析解：（1）令，考虑到的定义域为，故，进而解得，即在上是单调减函数.同理，在上是单调增函数.由于在上是单调减增函数，故，从而，即.令，得.当时，；当时，.又在上有最小值.所以，即.综上可知，.（2）当时，必为单调增函数；当时，令，解得，即.因为在上是单调增函数，类似（1）有，即.结合上述两种情况，得.①当时，由以及，得存在唯一的零点；②当时，由于，且函数在上的图象连续，所以在上存在零点.另外，当时，，故在上是单调增函数，所以

5、只有一个零点.③当时，令，解得.当时，；当时，，所以，是的最大值点，且最大值为.a.当，即时，有一个零点.b.当，即时，有两个零点.实际上，对于，由于.，且函数在上的图象连续，所以在上存在零点.另外，当时，，故在上是单调增函数，所以在上只有一个零点.下面考虑在上的情况.先证.为此，我们要证明：当时，.设，则，再设，则.当时，，所以在上是单调增函数.当时，，从而在上是单调增函数，进而当时，，即当时，.当，即时，.又，且函数在上的图象连续，所以在上存在零点.又当时，，故在上是单调减函数，所以在上只有一个零点.综合①②③可知，当或时，的零点个数为，当时，的零点个数为.6.(2013浙江文21

6、）已知，函数.（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若，求在闭区间上的最小值.6.分析（1）切点处的导数即为切线的斜率，求导后算出斜率，写出切线方程即可.（2）要确定的最小值，因为的最值是由其单调性决定的，所以要先利用导数确定的单调性，再确定极值和区间端点的函数值.由于所给区间中含有绝对值，因此要分类讨论.解析（1）当时，，所以.又因为，所以切线方程为，即.（2）记为在闭区间上的最小值..令，得.当时，单调递增极大值单调递减极小值单调递增比较和的大小可得当时，单调递减极小值单调递增得.综上所述，在闭区间上的最小值为7.（2015重庆文19（1））已知函数在处取得极值.确定的值；7.解

7、析求导得，因为在处取得极值，所以，即，解得．经检验，是的极大值点.8.（2015安徽文21（2））已知函数.若，求在内的极值.8.分析由（1）可知在内的极大值为，且在内无极小值.解析因为，由（1）可知在内的极大值为，在内无极小值.故在内极大值为，无极小值.9.（2015北京文19（1））设函数.求的单调区间和极值；9.解析函数的定义域为，，令，得，当时，，函数在上单调递减；当时，，函数在上单调递增.当时，函数取得极小值.10.（2015湖南文2