2016新编第7章点集拓扑学练习题参考答案

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1、点集拓扑学练习题参考答案（第7章）一、单项选择题1、若拓扑空间的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖，则称拓扑空间是一个（）①lindeloff空间②正则空间③紧致空间④可分空间　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答案：③2、紧致空间中的每一个闭子集都是（）　①非紧致子集②开集③紧致子集④以上都不对　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答案：③3、Hausdorff空间中的每一个紧致子集都是（）①即开又闭子集②开集③闭集④以上都不对　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答案：③4、拓扑空间的任何一个有限子集都

2、是（）①闭集②紧致子集③非紧致子集④开集　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答案：②5、实数空间的子集是（）①闭集②紧致子集③开集④非紧致子集　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答案：①②6、如果拓扑空间的每个紧致子集都是闭集，则是（）①空间②紧致空间③可数补空间④非紧致空间答案：①7、设是拓扑空间，是的子集，则下列不正确的命题是()①.若是序列紧致的，则是可数紧致的②.是列紧的当且仅当是序列紧致的③.若是可数紧致的，则是列紧的④.若是紧致的，则是列紧的答案：②5二、填空题（每题1分）1、设是一个拓扑空间.如果的每一

3、个开覆盖都有一个有限子覆盖，则称拓扑空间是一个.答案：紧致空间2、设是一个拓扑空间，是的一个子集.如果作为的子空间是一个紧致空间，则称是拓扑空间的一个.答案：紧致子集3、设是一个拓扑空间.如果的每一个可数开覆盖都有有限子覆盖，则称拓扑空间是一个可数紧致空间4、设是一个拓扑空间.如果的每一个无限子集都有凝聚点，则称拓扑空间是一个.答案：列紧空间5、设是一个拓扑空间.如果中的每一个序列都有一个收敛的子序列，则称拓扑空间是一个.答案：序列紧致空间6.当X为___________________________空间，则X的闭集是紧致子集；X为___

4、________________________空间，则X的紧致子集是闭集；7.X为__________________________________,且为序列紧空间时,X为可数紧空间.8.为连续的满射，则Y是。（填Y具有哪些具体的紧致性、可数性、分离性等性质，写3个）三．判断（每题4分，判断1分，理由3分）1、设是拓扑空间的两个紧致子集，则是一个紧致子集.()答案：√理由：设A是一个由中的开集构成的的覆盖，由于和都是的紧致子集，从而存在A的有限子族A1A2分别是和的覆盖，故是A的有限子族且覆盖，所以是紧致子集.52、Hausdorff空

5、间中的每一个紧致子集都是闭集.()答案：√理由：设是Hausdorff空间的一个紧致子集，则对于任何，若，则易知不是的凝聚点，因此，从而是一个闭集.四．简答题（每题4分）1、试说明紧致空间的无穷子集必有凝聚点.答案：如果的无穷子集的没有凝聚点，则对于任意，有开邻域，使得，于是的开覆盖没有有限子覆盖，从而不是紧致空间，矛盾.故紧致空间的无穷子集必有凝聚点.2、如果是紧致空间，则是紧致空间.答案：考虑投射，由于是一个连续的满射，从而由紧致知是一个紧致空间.3、试说明紧致空间的每一个闭子集都是紧致子集.答案：如果A是的任意一个由中的开集构成的覆盖

6、，则是的一个开覆盖.设是的一个有限子族并且覆盖.则便是A的一个有限子族并且覆盖，从而是紧致子集.五、证明题（每题8分）1、设是两个拓扑空间，是一个连续映射.如果是的一个紧致子集，证明是的一个紧致子集.证明：设C是的一个由中的开集构成的覆盖.对于任意，是中的一个开集，由于,从而有：所以A是一个由中的开集构成的的覆盖.由于是的一个紧致子集，所以A有一个有限子族，设为5覆盖.因为，从而，即是C的一个子族并且覆盖，因此是的一个紧致子集.2、设是一个正则空间，是的一个紧致子集，.证明：如果,则也是的一个紧致子集.证明：设A是任意一个由X中的开集构成的

7、Y的覆盖，因此A也是A的一个覆盖，由于A是X的紧致子集，从而A有有限个成员使得.由于A是正则空间的紧致子集，从而A有一个开邻域，使得,从而有,从而A有有限子族覆盖Y，因此Y是X的一个紧致子集.3、设是一个正则空间，是的一个紧致子集.证明：也是的一个紧致子集.证明：设A是任意一个由X中的开集构成的的覆盖，因此A也是A的一个覆盖，由于A是X的紧致子集，从而A有有限个成员使得.由于A是正则空间的紧致子集，从而A有一个开邻域，使得,从而有,从而A有有限子族覆盖，因此是X的一个紧致子集.4、设是一个Hausdorff空间，A是它的一个非空集族，由的紧

8、致子集构成，证明：是的一个紧致子集.证明：对于任意A∈A，易知是的一个闭集，5从而是的一个闭集.取A，则有，由于是紧致的闭集，从而是紧致子集一个闭子集，故（由紧致的闭遗传知）也是