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时间:2018-07-16
《2016新编第7章点集拓扑学练习题参考答案》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、点集拓扑学练习题参考答案(第7章)一、单项选择题1、若拓扑空间的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖,则称拓扑空间是一个()①lindeloff空间②正则空间③紧致空间④可分空间 答案:③2、紧致空间中的每一个闭子集都是() ①非紧致子集②开集③紧致子集④以上都不对 答案:③3、Hausdorff空间中的每一个紧致子集都是()①即开又闭子集②开集③闭集④以上都不对 答案:③4、拓扑空间的任何一个有限子集都
2、是()①闭集②紧致子集③非紧致子集④开集 答案:②5、实数空间的子集是()①闭集②紧致子集③开集④非紧致子集 答案:①②6、如果拓扑空间的每个紧致子集都是闭集,则是()①空间②紧致空间③可数补空间④非紧致空间答案:①7、设是拓扑空间,是的子集,则下列不正确的命题是()①.若是序列紧致的,则是可数紧致的②.是列紧的当且仅当是序列紧致的③.若是可数紧致的,则是列紧的④.若是紧致的,则是列紧的答案:②5二、填空题(每题1分)1、设是一个拓扑空间.如果的每一
3、个开覆盖都有一个有限子覆盖,则称拓扑空间是一个.答案:紧致空间2、设是一个拓扑空间,是的一个子集.如果作为的子空间是一个紧致空间,则称是拓扑空间的一个.答案:紧致子集3、设是一个拓扑空间.如果的每一个可数开覆盖都有有限子覆盖,则称拓扑空间是一个可数紧致空间4、设是一个拓扑空间.如果的每一个无限子集都有凝聚点,则称拓扑空间是一个.答案:列紧空间5、设是一个拓扑空间.如果中的每一个序列都有一个收敛的子序列,则称拓扑空间是一个.答案:序列紧致空间6.当X为___________________________空间,则X的闭集是紧致子集;X为___
4、________________________空间,则X的紧致子集是闭集;7.X为__________________________________,且为序列紧空间时,X为可数紧空间.8.为连续的满射,则Y是。(填Y具有哪些具体的紧致性、可数性、分离性等性质,写3个)三.判断(每题4分,判断1分,理由3分)1、设是拓扑空间的两个紧致子集,则是一个紧致子集.()答案:√理由:设A是一个由中的开集构成的的覆盖,由于和都是的紧致子集,从而存在A的有限子族A1A2分别是和的覆盖,故是A的有限子族且覆盖,所以是紧致子集.52、Hausdorff空
5、间中的每一个紧致子集都是闭集.()答案:√理由:设是Hausdorff空间的一个紧致子集,则对于任何,若,则易知不是的凝聚点,因此,从而是一个闭集.四.简答题(每题4分)1、试说明紧致空间的无穷子集必有凝聚点.答案:如果的无穷子集的没有凝聚点,则对于任意,有开邻域,使得,于是的开覆盖没有有限子覆盖,从而不是紧致空间,矛盾.故紧致空间的无穷子集必有凝聚点.2、如果是紧致空间,则是紧致空间.答案:考虑投射,由于是一个连续的满射,从而由紧致知是一个紧致空间.3、试说明紧致空间的每一个闭子集都是紧致子集.答案:如果A是的任意一个由中的开集构成的覆盖
6、,则是的一个开覆盖.设是的一个有限子族并且覆盖.则便是A的一个有限子族并且覆盖,从而是紧致子集.五、证明题(每题8分)1、设是两个拓扑空间,是一个连续映射.如果是的一个紧致子集,证明是的一个紧致子集.证明:设C是的一个由中的开集构成的覆盖.对于任意,是中的一个开集,由于,从而有:所以A是一个由中的开集构成的的覆盖.由于是的一个紧致子集,所以A有一个有限子族,设为5覆盖.因为,从而,即是C的一个子族并且覆盖,因此是的一个紧致子集.2、设是一个正则空间,是的一个紧致子集,.证明:如果,则也是的一个紧致子集.证明:设A是任意一个由X中的开集构成的
7、Y的覆盖,因此A也是A的一个覆盖,由于A是X的紧致子集,从而A有有限个成员使得.由于A是正则空间的紧致子集,从而A有一个开邻域,使得,从而有,从而A有有限子族覆盖Y,因此Y是X的一个紧致子集.3、设是一个正则空间,是的一个紧致子集.证明:也是的一个紧致子集.证明:设A是任意一个由X中的开集构成的的覆盖,因此A也是A的一个覆盖,由于A是X的紧致子集,从而A有有限个成员使得.由于A是正则空间的紧致子集,从而A有一个开邻域,使得,从而有,从而A有有限子族覆盖,因此是X的一个紧致子集.4、设是一个Hausdorff空间,A是它的一个非空集族,由的紧
8、致子集构成,证明:是的一个紧致子集.证明:对于任意A∈A,易知是的一个闭集,5从而是的一个闭集.取A,则有,由于是紧致的闭集,从而是紧致子集一个闭子集,故(由紧致的闭遗传知)也是
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