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《2016新编第6章点集拓扑学练习题参考答案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、点集拓扑学练习题（第6章）一、单项选择题1、设是一个拓扑空间，若对于,均有,则是()①空间②空间③空间④以上都不对答案：①2、设，，则是()①空间②空间③空间④以上都不对答案：①3、设，，则是()①空间②空间③空间④以上都不对答案：④4、设，，则是()①空间②空间③空间④以上都不对答案：④5、设是一个拓扑空间，若的每一个单点集都是闭集，则是（）①正则空间②正规空间③空间④空间答案：③6、设是一个拓扑空间，若的每一个有限子集都是闭集，则是（）①正则空间②正规空间③空间④空间答案：③7、设是一个拓扑空间，若对及的每一个开邻域，都存在的
2、一个开邻域,使得,则是（）①正则空间②正规空间③空间④空间7答案：①8、设是一个拓扑空间，若对的任何一个闭集及的每一个开邻域，都存在的一个开邻域,使得,则是（）①正则空间②正规空间③空间④空间答案：②9、设，，则是()①空间②空间③空间④正规空间答案：④10、设，，则是()①空间②空间③空间④正则空间答案：④11.设（X.,T）是度量空间，则（X.,T）不必是：（）答案：C12.下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（D）(A)公理(B)公理(C)公理(D)公理二、填空题1．T1空间__不一定是______有限补空间，有限补空间_
3、__是______T1空间。(填”是”或”不是”或”不一定是”)。2.正规空间的每一个闭子空间也是正规空间.可分空间的每一个开子空间也是可分空间.三．判断题1、设，，则是空间.( )答案：×7理由：因为是的一个闭集，对于点１和没有各自的开邻域互不相交，所以不是正则空间，从而不是空间.注：也可以说明不是空间．2、设，，则是空间.( )答案：×理由：因为对于点１和点２，２没有开邻域不包含１，从而不是空间．故是空间.注：也可以考虑点２和点３.3、空间一定是空间.（）答案：√理由：因为空间是正则的空间，所以对于空间中的任意不同的两点，是中
4、的闭集，由于是正则空间，从而对于它们有各自的开邻域使得，所以是空间.4．具有可数基的正则空间是正规空间。（√）5．在A2且T3的拓扑空间中，紧致子集是有界闭集。（√）6．在T0空间中，A的凝聚点的任一邻域中含有A的无限多个点。（×）四．简答题（每题4分）1、设是一个空间，试说明的每一个单点集是闭集.答案：对，由于是空间，从而对每一个，点有一个邻域使得，即，故，因此,这说明单点集是一个闭集.2、设是一个拓扑空间，若的每一个单点集都是闭集，试说明是一个空间.答案：对于任意，都是闭集，从而和分别是和7的开邻域，并且有,.从而是一个空间.
5、3、若是一个正则空间，试说明：对及的每一个开邻域，都存在的一个开邻域,使得.答案:对,设是的任何一个开邻域，则的补集是一个不包含点的一个闭集.由于是一个正则空间，于是和分别有开邻域和,使得，因此，所以.4、若是一个正规空间，试说明：对的任何一个闭集及的每一个开邻域，都存在的一个开邻域,使得.答案：设是的任何一个闭集，若是空集，则结论显然成立.下设不是空集，则对的任何一个开邻域，则的补集是一个不包含点的一个闭集.由于是一个正规空间，于是和分别有开邻域和,使得，因此，所以.5、试说明空间的任何一个子集的导集都是闭集.答案：设是的任何一
6、个子集，若是空集，则，从而的导集是闭集.下设不是空集，则对,则有开邻域,使得，由于是空间，从而是开集，故,于是,所以是它每一点的邻域，故是开集，因此是闭集.五、证明题1、设是一个空间,,,证明：的每一个邻域中都含有中的无限多个点.（即是无限集）证明：设，若有一个开邻域含有中的有限多个点，设,则是一个有限集，从而是一个闭集，故是一个开集且是的一个开邻域.7又易知,从而，矛盾.故含有中的无限多个点.2、设X是一个正则空间，A是的闭子集,，证明：和分别有开邻域和使得.证明：由于X是一个正则空间，从而x和A分别有开邻域W和V使得，故，因此
7、.………………4分又由正则空间的性质知：存在x的开邻域U使得,从而.……………………………………………………8分3、证明：每一个正则且正规的空间都是完全正则的.证明：设是一个既正则又正规的空间.设是中的不含点的闭集，从而是的一个开邻域.再由是正则的，故此存在的一个开邻域使得.于是与是两个不相交的闭集.而又是正规的，由Urysohn引理，故存在一个连续函数使得对任意所为，，特别和，.这说明是完全正则的.…………………12分4、设是空间的一个收敛序列,证明：的极限点唯一.证明：若极限点不唯一，不妨设,,其中，由于是空间，故和各自的开邻
8、域，使得.因，故存在，使得当时，；同理存在，使得当时，.令,则当时，，从而,矛盾，故的极限点唯一.75、X是空间，B为X的一个拓扑基，则对于每一个BB及xB,都有一个B使得xB.证明：X是空间，必为的正规空间，对任意xX,{x}为闭集.对于BB且x
