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1、导入新课一般地,在线性变换下,是否仍然由平面上的直线变成直线,三角形变成三角形呢?1.1线性变换与二阶矩阵第一讲线性变换与二阶矩阵教学目标了解矩阵的概念掌握五类特殊的线性变换及其二阶矩阵知识与能力过程与方法情感态度和价值观用代数方法表示几何变换,进而就可以从代数的角度研究几何变换体验在直角坐标系中线性变换与二阶矩阵之间的一一对应关系1.二阶矩阵的概念2.线性变换及其对应的二阶矩阵教学重难点重点线性变换与二阶矩阵之间的一一对应关系难点旋转变换反射变换伸缩变换投影变换切变变换（一）几种特殊线性变换及其二阶矩阵1.旋转变换
2、探究将直角坐标系所有点绕原点沿逆时针方向旋转一个角度α.设平面内点P(x,y)经过旋转后变成点那么如何用P的坐标(x,y)表示的坐标?得到：x’=－x,y’=－y.①①称为旋转角为180°的旋转变换的表达式P’是P在这个旋转变换的像.O180°PP′yx逆时针方向旋转180°如图,在直角坐标系xoy内,点P(x,y)绕原点O按逆时针方向旋转180°,变成点例1在直角坐标系xoy内,将每个点绕原点O按逆时针方向旋转30°的变换称为旋转角是30°的旋转变换.求点A（1，0）在这个旋转变换下的像A′;写出这个旋转变化的表达
3、式.A(1,0)O30°A′yx图1图2逆时针方向旋转30°Oyx(x,y)Pα30°(2)如图2,分别连接OP,OP’,设OP=OP′=r,即:②即得到正方形数表:由两角和的三角函数公式得:其中系数a,b,c,d均为常数，则称③的几何变换为线性变换.③式叫做这个线性变换的坐标变换公式.③在平面直角坐标系xOy中,很多平面变换（平面内有点构成的集合）到它自身的映射都具有下列形式定义由4个数a,b,c,d排成的正方形数表称为二阶矩阵数a,b,c,d称为矩阵的元素.零矩阵:记为:单位矩阵:记为:2.反射变换平面上的任意一
4、点P变成它关于直线l的对称点P’的线性变换叫做关于直线l的反射.例:在直角坐标系xOy内,任意点P(x,y)关于直线y=x的对称点为P’(x’,y’).则相应的坐标变换公式是:x’=y,y’=x.对应的二阶矩阵是3.伸缩变换在直角坐标系xOy内,将每个点的横坐标变为原来的k1倍,纵坐标变为原来的k2,其中k1,k2均为非零常数,称这样的几何变换为伸缩变换.定义伸缩变换的坐标变换公式为:x’=k1x,y’=k2y.对应的二阶矩阵:4.投影变换设l是一条给定的直线.对平面内任意一点P作直线l的垂线,垂足为P’,称点P’为
5、点P在直线l上的投影.lαP’P平面上每一点P变成它在直线l上的投影P’,这个变换称为关与直线l的投影变换.定义在直角坐标系xOy内,任意点P关于x轴的投影变换的坐标变换公式为:x’=x,y’=0.对应的二阶矩阵:5.切变变换如图,在直角坐标系xOy内,将每一点P(x,y)沿与x轴平行的方向平移ky各单位变成P’,其中k为常数,称这类变换为平行于x轴的切变变换.OyxP(x,y)P’(x+ky,y)定义平行与x轴的切变变换的坐标变换公式为:x’=x+ky,y’=y.对应的二阶矩阵:抢答平行于y轴的切变变换的坐标公式?
6、x’=x,y’=kx+y.对应的二阶矩阵:（二）变换、矩阵的相等x’=x,y’=－x.旋转角为的旋转变换的坐标变换公式即:对应的二阶矩阵:即:x’=x,y’=－x.旋转角为的旋转变换的坐标变换公式即:即:对应的二阶矩阵:观察从上例中你发现了什么相同点和不同点?相同点：不同点：1.旋转变换的坐标变换公式2.对应的二阶矩阵1.旋转角度设σ,ρ是同一直角坐标平面内的两个线性变换.若对平面内任意点P,都有σ（P）=ρ(P),则这两个线性变换相等,记为σ=ρ.定义设σ,ρ所对应的二阶矩阵分别为A=,B=.若σ=ρ,则a1=a2
7、,b1=b2,c1=c2,d1=d2.这时我们称二阶矩阵A与二阶矩阵B相等.定义课堂练习解:由矩阵定义:课堂小结1.几种特殊的线性变换:旋转变换、反射变换、伸缩变换、投影变换、切变变换(要求：理解并掌握各变换所对应的坐标变换公式及其对应的二阶矩阵.)2.变换和矩阵的相等（1）变换相等:对应坐标变换公式和二阶矩阵相等（2）矩阵相等:对应系数相等注:两个线性变换相等当且仅当对应的二阶矩阵相等课堂小结教材习题答案1.（1）坐标变换公式为:对应的二阶矩阵:（2）坐标变换公式为:对应的二阶矩阵:2.设P(x,y)是平面直角坐标
8、系xOy内的任意一点,则它关于原点O的对称点为∴坐标变换公式为对应的二阶矩阵为.3.（1）点在这个投影变换下的像为（2）设P(x,y)是平面直角坐标系xOy内的任意一点，则它在这个变换下的像为P’(x+y,0),因此,坐标变换公式是对应的二阶矩阵是5.由X=Y,得x=3,y=－9,z=0.6.设P(x0,y0）是平面直角坐标系xOy内的任意一点
