数值分析第一次计算实习大作业

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1、数值分析第一次计算实习大作业数值分析B第一次计算实习大作业学院名称：宇航学院专业名称：航天工程学生姓名：学号：2017年11月14数值分析第一次计算实习大作业一、题目：设有的实对称矩阵A，其中，。矩阵A的特征值为，并且有1.求，和的值。2.求A的与数最接近的特征值。3.求A的(谱范数)条件数和行列式detA。说明：1.在所用的算法中，凡事要给出精度水平ε的，都取ε=10-12。2.选择算法时，应使矩阵A的所有零元素都不存储。3.打印以下内容：（1）全部源程序；（2）特征值，，，以及，detA的值。4.采用

2、e型输出实型数，并且至少显示12位有效数字。14数值分析第一次计算实习大作业二、算法设计方案：第一问：求，和的值。，则是A的最大特征值，是A的最小特征值，是A的按模最小特征值。通过幂法可以计算矩阵的按模最大特征值，然后通过判断特征值的正负，若为正，则按模最大特征值为，若为负，则按模最大特征值为。由此计算出，其中一个后，再通过平移的方法求另外一个特征值。则直接通过反幂法计算得到。第二问：求A的与数最接近的特征值。先通过公式计算，将作为偏移量对A进行平移获得新矩阵。然后对新矩阵通过反幂法计算得到按模最小特征值

3、。将所得结果加上，就是所求。第三问：求A的(谱范数)条件数和行列式detA。因为矩阵A为非奇异的实对称矩阵，则有以下公式：其中为按模最大特征值，为按模最小特征值，在第一问中都已得到结果，可直接计算公式得到。矩阵A为五对角矩阵，采用追赶法对矩阵A进行LU分解。A=LU，因为LU均为三角矩阵，则有以下公式：detA=i=1nu(i,i)其中u(i,i)为主对角线上元素，通过此公式计算detA。14数值分析第一次计算实习大作业三、算法函数计算：（1）幂法计算使用第二种幂法迭代格式：终止迭代的控制理论使用。由于A

4、的所有零元素都不存储，因此我采取一个数组a[i]保存主对角线元素，定义数值常数b和c。因此需要将上式中的进行简化运算，最后得到以下结果：（2）反幂法计算使用如下迭代格式：其中，通过追赶法对矩阵A进行LU分解，求解方程组得到。14数值分析第一次计算实习大作业LU分解如下：推出分解公式如下：回代求解公式如下：（3）追赶法LU分解计算detA=i=1501d(i,i)分解公式与反幂法计算中所采用的分解公式相同。14数值分析第一次计算实习大作业四、源程序代码：#include#include<

5、iomanip>#includeusingnamespacestd;constdoubleepsilon=1e-12,b=0.16,c=-0.064;inti,j,k;doublepower_method(doublef[501]);//定义幂法函数doubleinv_power_method(doublef[501]);//定义反幂法函数doubledet(doublef[501]);//定义追赶法LU分解后求行列式的函数intmain()//主程序{cout<<"数值分析第一次大作业：

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