7 逻辑代数(下)：谓词演算 习题答案

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1、练习5.11.指出下列谓词公式中的量词及其辖域，指出各自由变元和约束变元，并作适当更改，同时回答它们是否是命题：（1）"x(P(x)∨Q(x))∧R（2）"x(P(x)∧Q(x))∧$xS(x)→T(x)（3）"x(P(x)→$y(B(x,y)∧Q(y))∨T(y))（4）P(x)à("y$x(P(x)∧B(x,y))àP(x))解：（1）全称量词"，辖域P(x)∨Q(x)，其中x为约束变元，"x(P(x)∨Q(x))∧R是命题。不需要更改变元。（2）全称量词"，辖域P(x)∨Q(x)，其中x为

2、约束变元。存在量词$，辖域S(x)，其中x为约束变元。T(x)中x为自由变元。"x(P(x)∧Q(x))∧$xS(x)→T(x)不是命题。公式中x既是自由变元又是约束变元，可更改变元为如下公式："x(P(x)∧Q(x))∧$yS(y)→T(z)（3）全称量词"，辖域P(x)→$y(B(x,y)∧Q(y))∨T(y)，其中x为约束变元，存在量词$，辖域B(x,y)∧Q(y)，其中y为约束变元。T(y)中y为自由变元。"x(P(x)→$y(B(x,y)∧Q(y))∨T(y))不是命题。公式中y既是自

3、由变元又是约束变元，可更改变元为如下公式："x(P(x)→$y(B(x,y)∧Q(y))∨T(z))不是命题。（4）全称量词"，辖域$x(P(x)∧B(x,y))，其中y为约束变元。存在量词$，辖域P(x)∧B(x,y)，其中x为约束变元。不在量词辖域中的P(x)（第一个和第三个P(x)）中的x为自由变元。P(x)→("y$x(P(x)∧B(x,y))→P(x))不是命题。公式中x既是自由变元又是约束变元，可更改变元为如下公式：P(z)→("y$x(P(x)∧B(x,y))→P(z))2．对个体

4、域{0，1}判定下列公式的真值,E(x)表示“x是偶数”：（1）"x(E(x)→┐x=1)（2）"x(E(x)∧┐x=1)（3）$x(E(x)∧x=1)（4）$x(E(x)→x=1)再将它们的量词消去,表示成合取或析取命题公式，鉴别你所确定的真值是否正确。解:（1）"x(E(x)→┐x=1)真"x(E(x)→┐x=1)可表示成命题公式（E(0)→┐0=1）∧（E(1)→┐1=1）其中E(0)→┐0=1真，E(1)→┐1=1也真，故（E(0)→┐0=1）∧（E(1)→┐1=1）真。（2）"x(E(

5、x)∧┐x=1)假"x(E(x)∧┐x=1)可表示成命题公式（E(0)∧┐0=1）∧（E(1)∧┐1=1）其中E(0)∧┐0=1真，但E(1)∧┐1=1假，故（E(0)∧┐0=1）∧（E(1)∧┐1=1）假。（3）$x(E(x)∧x=1)假$x(E(x)∧x=1)可表示成命题公式(E(0)∧0=1)∨(E(1)∧1=1)其中E(0)∧0=1假，E(1)∧1=1也假，故(E(0)∧0=1)∨(E(1)∧1=1)假。（4）$x(E(x)→x=1)真$x(E(x)→x=1)可表示成命题公式(E(0)→

6、0=1)∨(E(1)→1=1)其中E(0)→0=1假，但E(1)→1=1真，故(E(0)→0=1)∨(E(1)→1=1)真。3．设整数集为个体域，判定下列公式的真值(*表示数乘运算)：（1）"x$y(x*y=x)（2）"x$y(x*y=1)（3）"x$y(x+y=1)（4）$y"x(x*y=x)（5）$y"x(x+y=1)解:（1）"x$y(x*y=x)真（2）"x$y(x*y=1)假（3）"x$y(x+y=1)真（4）$y"x(x*y=x)真（5）$y"x(x+y=1)假4.用谓词公式将下列语

7、句形式化：（1）华盛顿是美国的首都。（2）高斯是数学家，但不是文学家。（3）不劳动者不得食。（4）人无完人。（5）发亮的东西不都是金子。（6）天下乌鸦一般黑。（7）一个数既是偶数又是质数，当且仅当该数为2。（8）有的猫不捉耗子，会捉耗子的猫便是好猫。（9）凡成功者都努力奋斗，但反之不然。（10）有的汽车比有的火车跑得快。（11）一个人如果不相信所有其他人，那么他也就不可能得到其他人的信任。（12）不是所有的男人都至少比一个女人高，但至少有一个男人比所有的女人高。解:（1）华盛顿是美国的首都；C(

8、x,y)表示“x是y的首都”，w表示“华盛顿”，a表示美国，原句可表示为C(w,a)（2）高斯是数学家，但不是文学家。解:M(x)表示“x是数学家”，A(x)表示“x是天文学家”，g表示“高斯”，原句可表示为M(g)∧┐A(g)（3）W(x)表示“x是劳动的”，F(x)表示“x是可以得到食物的”，原句可表示为"x(┐W(x)à┐F(x))（4）人无完人。解:M(x)表示“x是人”，P(x)表示“x是完美的”，原句可表示为┐$x(M(x)∧P(x))或者"x(M(x)à┐P(x))（5）L(x)表