2005研究生数学建模竞赛优秀论文a题1418-a题

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1、高速公路行车时间估计及最优路径选择问题1问题复述I行车时间的估计对于旅行者来说非常重要。因此，有些美国高速公路安装了传感器。比如在圣安东尼奥（SanAntonio）市在所有的双向六车道的高速路上都安装了传感器。但是车辆往往会不停的变换车道，为了简化问题我们可以忽略换道的影响，而只考虑一个车道的交通问题（如下图所示（参见原题），正方形代表传感器）。1.传感器可以每天24小时探测每个车辆的速度。每辆车的速度信息每20秒刷新一次记录。下表是一组真实数据（由于交通数据非常巨大，因此只记录了每2分钟间隔中最后20秒的数据，单位：英里/小时）

2、。请分析高速公路上的路况特点（如：拥塞及其疏导。一般来说时速高于50英里/小时认为不存在拥塞问题。）如果车辆在时间t经过传感器，那么经过多久它通过第5个传感器？请设计一种算法来估计车辆的运行时间，并证明算法的合理性和精确性。如果路况信息每20秒（而不是每2分钟）刷新一次，那么这对你们的估计算法有影响吗？在上面问题条件的基础上，如果传感器不仅能探测车辆速度，而且能探测单位时间的交通流量（如下表，流量的单位是：车辆数/每20秒）。这些信息是否有助于算法的合理性和精确性的提高？如果是，请重新设计你的算法。II第一张图（参见原题）是美国德

3、克萨斯州圣安东尼奥市的地图。第二张图（参见原题）反映了圣安东尼奥市的路况信息。旅行者可以在车辆内置的导引系统中输入当前位置和目的地，系统会帮助选择路径并估计需要的时间。不幸的是，由于每一路段（两个十字路口之间的道路）的路况是随机的，系统不能很好地确定最优（最快）路线和可靠的时间估计。你能在问题1的基础上改进这个系统吗？1.假设每段路的运行时间是互相独立的随机变量，请为系统设计一种算法来确定最优路线及时间估计。请明确你的“最优”是如何定义的。2.每一段路的行车时间依赖于其出发时间，并且行车时间之间具有相关性。为了考察相关性如何随时间

4、变化，通常会建立一个和时间有关的协方差矩阵，分别表示两端路的两个交叉口。用上图设计一个合理矩阵和算法来寻找最有路线。请定义清楚最优路线的含义。如果有n个交叉口，那么时间相关的函数是一个阶的矩阵每一行或列代表路段：。III上图（参见原题），粗线表示高速公路的不同方向，上面的表示从左到右，左边的表示从上到下。车辆通过十字路口时，可以到达其它连接的路段。图中共有14个路口。路口之间的距离如上表所示。请分别找出从路口3到路口14，从路口14到路口3的最优路线和时间估计。旅行时间的条件同问题1，每一段路的运行时间的期望和该路段长度成比例，方

5、差和（路段长度）2/3的倒数成比例，同时也和路段两头的连接的道路数量的乘积成正比。142基本假设（1）认为道路上行驶的车辆只有一种，即不考虑由于车辆种类而造成路况及行车时间的影响；（2）道路每个方向上只有一个车道；（3）道路发生拥塞时能够有效疏导，即不会发生长时间的严重拥塞；3符号说明：两个路口之间的一条道路；：传感器到的距离（英里）；：车辆到达第个传感器的时刻；：时刻从第个传感器出发，到达第个传感器的行车时间；：道路在时刻出发需要的行车时间；：时刻传感器处的速度；：时刻路段上探测点的平均速度，4模型背景及分析道路交通状态是非线性

6、的，而且车辆、速度、路况之间具有交互作用。其研究一般有二种模型：宏观、微观。宏观模型主要考察一些描述整体行为的变量，如单位时间流量、流量密度、平均速度等。而微观模型主要考察单个车辆的瞬时速度、车距等指标。从问题本身来看主要考察的是交通的宏观行为。高速公路（highway）是国内较普遍的翻译，但在美国高速公路有另外一个单词freeway，其实highway大致相当于我国的一级公路或主干公路。由于美国交通特别发达，而且没有中国这样多的收费站，因此高速公路（highway）是美国最繁忙的公路。其特点是：1.上下班有明显的高峰期；2.由于

7、公路建设时间较长，很多车道需要维修，因此经常会有临时的车道封闭，从而造成交通拥挤的情况。对高速公路行车时间的预测和当时的路况、天气、地形等因素有关，当拥塞现象比较明显时，行车时间的随机性和非线性更加显著，因此造成预测值可靠性非常差。从旅行者的出行角度考虑，一般用四个指标来衡量，一是考虑期望的行车时间最短；二是考虑路线具有较高的可靠性，即发生严重阻塞的概率较小；三是考虑路程最短；四是考虑费用最低。而有时这些指标之间往往是互相矛盾的，需要在两者间做出平衡，在本文中我们把行车时间最短作为设计目标。5问题（I）的分析与建模令表示车辆到达第

8、个传感器的时刻，表示时刻出发，从第个传感器到第个传感器的行车时间。易知，从时刻出发，到达各传感器的时刻分别为：14整个路段的运行时间为：(1)因为传感器之间的距离不大，因此可以认为速度线性变化，此时每一个路段的运行时间可以用式计算：(2)这个算法可