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1、立体几何及空间向量法解决立体几何问题一、知识点（一）、空间点线面的位置1、直线与直线的位置（1）（2）（3）2、直线与平面的位置（1）（2）（3）3、平面与平面的位置（1）（2）（二）空间点线面的证明1、平行线∥线线∥面面∥面2、垂直线⊥线线⊥面面⊥面（三）空间向量1、空间直角坐标系的建立：3、空间直角坐标的读取：1、空间向量坐标的运算：（1）（2）∥=（3）⊥=（4）（5），则2、平面法向量的求法：nba如图,设=(x1,y1,z1)、=(x2,y2,z2)是平面α内的两个不共线的非零向量，则步骤如下：第一步(设):设出平面法向量
2、的坐标为n=(x,y,z).第二步(列):根据n·a=0且n·b=0可列出方程组第三步(解):把z看作常数,用z表示x、y.第四步(取):取z为任意一个正数(当然取得越特殊越好),便得到平面法向量n的坐标.例1：在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是面AC的中心,求面OA1D1的法向量.AAABCDOA1B1C1D1zxy3、空间向量法解决证明问题（1）线线平行：（2）线线垂直：（3）线面平行：（4）线面垂直：（5）面面平行：（6）面面垂直：1、空间向量法解决空间角问题线线角：线面角：面面角：2、空间向量法解决空间距离
3、问题：点面距离：线面距离：面面距离：一、典例剖析（一）考点一点线面的证明DD1C1A1EFABCB1例1、【2015高考新课标2，理19】如图，长方体中,，，，点，分别在，上，．过点，的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）．【考点定位】1、直线和平面平行的性质；2、直线和平面所成的角．ABCDEA1B1C1变式训练1、【2015江苏高考，16】如图，在直三棱柱中，已知，，设的中点为，.求证：（1）；（2）.【答案
4、】（1）详见解析（2）详见解析【解析】试题分析（1）由三棱锥性质知侧面为平行四边形,因此点为的中点，从而由三角形中位线性又因为，平面，平面，，所以平面．又因为平面，所以．因为，所以矩形是正方形，因此．因为，平面，，所以平面．又因为平面，所以．变式训练2、【2015高考安徽，理19】如图所示，在多面体，四边形，均为正方形，为的中点，过的平面交于F.（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求二面角余弦值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】试题分析：（Ⅰ）证明：依据正方形的性质可知，且，，从而为平行四边形，则，根据线面平行的判定定理知面，再由线面平行的性质定理
5、知.（Ⅱ）因为四边形，，均为正方形，所以，且，可以建以为原点，分别以为轴，轴，轴单位正向量的平面直角坐标系，写出相关的点的坐标，设出面的法向量.由得应满足的方程组，为其一组解，所以可取.同理的法向量.所以结合图形知二面角的余弦值为.试题解析：（Ⅰ）证明：由正方形的性质可知，且，所以四边形为平行四边形，从而，又面，面，于是面，又.设面的法向量，而该面上向量，由此同理可得.所以结合图形知二面角的余弦值为.（二）考点二线线角（异面直线所成角）例2、（1）(2013·沈阳调研)在直三棱柱A1B1C1ABC中，∠BCA＝90°，点D1，F1分
6、别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是( )A. B.C.D.（2）如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M和N分别是A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值为________．变式训练1：[2014·新课标全国卷Ⅱ]直三棱柱ABCA1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为( )A.B.C.D.变式训练2：如图在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AB的中点,则对角线DB
7、1与CM所成角的余弦值为_____.BCAMxzyB1C1D1A1CDMA（三）考点三直线与平面所成的角例3、(2013·湖南高考)如图，在直棱柱ABCDA1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AC⊥BD，BC＝1，AD＝AA1＝3.(1)证明：AC⊥B1D；(2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值．zxyC1A1B1ACBO变式训练1、正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为a,高为，求AC1与侧面ABB1A1所成角的余弦值。变式训练2、(2013·福建高考)如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，侧棱AA1⊥
8、底面ABCD，AB∥DC，AA1＝1，AB＝3k，AD＝4k，BC＝5k，DC＝6k(k>0)．若直线AA1与平面AB1C所成角的正弦值为，求k的值．变式训练3、[2014·福建卷]在平面四边形ABCD中，AB＝BD＝CD＝1，AB⊥
