第四章 本构方程.ppt.convertor

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1、Chapter4ConstitutiveEquations本构方程4-1.Introduction引言应力分析：从静力学的角度得到力的平衡方程和边界条件。应变分析：从几何学的角度研究变形几何方程和边界条件。本构关系：研究应力与应变之间存在的内在联系。4-2.Experiments拉伸和压缩时的应变应变曲线1、低碳钢拉伸试验曲线：线弹性阶段：OA弹性阶段：ABB点应力：弹性极限屈服阶段：CDC点应力：上屈服极限D点应力：下屈服极限塑性流动阶段：DH强化阶段：H点以后缩径阶段：b点以后2.无明显屈服阶段材料应力—应变曲线:屈服极限规定用产生0.2％塑性应变所对应的应力来表示

2、。记为σ0.23.包辛格(J.Bauschinger)效应(反向屈服效应):具有强化性质的材料随着塑性变形的增加，屈服极限在一个方向上提高而在相反方向降低的效应。一般认为这是由多晶材料晶界间残余应力引起的。通常且若称为理想包辛格效应。4.真实应力—应变曲线讨论：σ=P/A0A0：试件初始截面积，σ为名义应力σT=P/AA：试件变形后截面积σT为真实应力σT>σ利用体积不可压缩假设：则作图：故有***对简单拉伸，考虑泊松效应若纵向应变，则侧向应变为：截面积体积体积变化4-3.变形能函数物体受力变形的过程，其本质上是一个热力学过程。(1)等温过程：物体在变形过程中，各点的温

3、度与周围介质的温度保持平衡。(2)绝热过程：物体在变形过程中不产生温度的变换。即：物体温度没有升降，热量无损失或增加。由热力学第一定律，物体在变形过程中总能量的变化：δK+δU=δA+δQ其中：δK为动能的变化，K为物体的动能δU为变形能的变化，U为物体的变形能δA为外力功的变化，A为变形过程中外力做的功δQ为热量的变化，Q为物体变形吸收(或散发)的热量设物体的体积为V，变形位移ui，受外力Fi作用则物体的动能变化式中为速度分量，为加速度分量注意到故有外力功的变化：式中Fi为体力，Ti为面力，S为物体的表面积利用应力边界条件和高斯积分公式的展开式：则面力功的变化：注1：

4、则面力功的变化：**注2：取便有即有则面力功的变化：***注3：考察故有其中，为应变分量，表示物体的纯变形部分，为物体的刚性位移部分，称为转动张量应力在刚体位移上不做功。为一二阶对称张量为一二阶反对称张量则面力功的变化：从而有物体变形能的变化注意到又注意到物体运动微分方程为：平衡状态下，有平衡微分方程：从而有若变形过程是绝热的，即则有在平衡状态下，结论：在平衡状态下，外力所做的功等于物体中应变能的变化。或者说，外力所做的功，全部转化为物体的应变能。记变形能的变化则为单位体积应变能的变化。记U0为应变分量的函数，即：显然有其全微分为U0表示由于变形而贮存在物体单位体积内的

5、应变能，称为应变能密度函数。定义：应变能的变化应变余能的变化***有则对于应变能密度函数U0，展开式为：类似地，对于应变余能密度函数U0*，展开式为：有4-4.广义Hooke定律在小变形情况下，忽略应变分量的高阶值，同时利用零初应力状态假定，得到最一般形式下线弹性应力—应变关系的表达式：1、应力—应变关系的一般表示:展开式：简记为：或写成矩阵形式：简记为：一般情况下，系数Cij不是常数，除依赖温度外，还依赖于在物体中所处的位置。通常Cij随着温度的增高而减小。对于均匀的物体，各点的Cij相同。注意到：则有：即[C]为对称矩阵，只有21个独立的弹性系数。即：一般的各向异性

6、弹性材料有21个弹性系数。2、各向异性体弹性材料的应力—应变关系：根据前面的讨论，应变能密度函数U0满足：考察：类似地可得到3、各向同性体材料的广义Hooke定律   各向同性体材料的应力主轴和应变主轴重合。证明：1°以三个应变主轴方向为轴建立坐标系。则对应于三个主轴方向的切应变为零：于是对应于主应变状态的各应力分量为:1′3′2′o2°建立新坐标系。不妨把坐标系1、2、3绕2轴旋转180°得到坐标系1′、2′、3′。坐标系间的方向余弦关系为：在新坐标系1′、2′、3′下，对于各向同性体，弹性常数不随方向而改变，则对应于新坐标系下的各应力分量同样有：应变状态的坐标

7、变换显然有：考察应力状态的坐标变换同时对的影响和对的影响应该没有区别：对于各向同性体材料，在各个方向上的弹性性质相同，显然主应变对的影响与主应变对的影响和主应变对的影响都是相同的，即有即有：同理有于是知：应变主轴坐标系所对应的应力状态是主应力状态，即应变主轴也是应力主轴，或者说：应变主轴和应力主轴重合。从而有：〈ii〉各向同性体材料只存在两个独立的弹性常数已知在主轴坐标系下，类似地不妨记则有引入Lame常数体积应变则有引入非主轴坐标系Oxyz，与主轴坐标系间的方向余弦关系记为：在Oxyz系下的应力和应变状态分别为不妨考察以及利用主轴坐标系