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1、Matlab实现多元回归实例（一）一般多元回归一般在生产实践和科学研究中，人们得到了参数和因变量的数据，需要求出关系式，这时就可以用到回归分析的方法。如果只考虑是线性函数的情形，当自变量只有一个时，即，中时，称为一元线性回归，当自变量有多个时，即，中时，称为多元线性回归。进行线性回归时，有4个基本假定：①因变量与自变量之间存在线性关系；②残差是独立的；③残差满足方差奇性；④残差满足正态分布。在Matlab软件包中有一个做一般多元回归分析的命令regeress，调用格式如下：[b,bint,r,rint,sta
2、ts]=regress(y,X,alpha)或者[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,X)此时，默认alpha＝0.05.这里，y是一个的列向量，X是一个的矩阵，其中第一列是全1向量（这一点对于回归来说很重要，这一个全1列向量对应回归方程的常数项），一般情况下，需要人工造一个全1列向量。回归方程具有如下形式：其中，是残差。在返回项[b,bint,r,rint,stats]中，①是回归方程的系数；②是一个矩阵，它的第行表示的(1-alpha)置信区间；③是的残差列向量；④是矩阵，它的第
3、行表示第个残差的(1-alpha)置信区间；注释：残差与残差区间杠杆图，最好在0点线附近比较均匀的分布，而不呈现一定的规律性，如果是这样，就说明回归分析做得比较理想。⑤一般的，返回4个值：值、F_检验值、阈值，与显著性概率相关的值（如果这个值不存在，则，只输出前3项）。注释：10（1）一般说来，值越大越好。（2）人们一般用以下统计量对回归方程做显著性检验：F_检验、t_检验、以及相关系数检验法。Matlab软件包输出F_检验值和阈值。一般说来，F_检验值越大越好，特别的，应该有F_检验值。（3）与显著性概率相
4、关的值应该满足。如果，则说明回归方程中有多余的自变量，可以将这些多余的自变量从回归方程中剔除（见下面逐步回归的内容）。这几个技术指标说明拟合程度的好坏。这几个指标都好，就说明回归方程是有意义的。例1（Hamilton，1987）数据如下：序号YX1X2112.372.239.66212.662.578.94312.003.874.40411.933.106.64511.063.394.91613.032.838.52713.133.028.04811.442.149.05912.863.047.711010.
5、843.265.111111.203.395.051211.562.358.511310.832.766.591412.633.904.901512.463.166.96第一步分析数据在Matlab软件包中分析是否具有线性关系，并作图观察，M—文件opt_hanmilton_1987：x1=[2.23,2.57,3.87,3.10,3.39,2.83,3.02,2.14,3.04,3.26,3.39,2.35,2.76,3.90,3.16];x2=[9.66,8.94,4.40,6.64,4.91,8.52,
6、8.04,9.05,7.71,5.11,5.05,8.51,6.59,4.90,6.96];y=[12.37,12.66,12.00,11.93,11.06,13.03,13.13,11.44,12.86,10.84,11.20,11.56,10.83,12.63,12.46];corrcoef(x1,y)corrcoef(x2,y)plot3(x1,x2,y,'*')得到结果：ans=1.00000.0025100.00251.0000ans=1.00000.43410.43411.0000即，corrco
7、ef(x1,y)＝0.0025，corrcoef(x2,y)＝0.4341，说明没有非常明显的单变量线性关系。图形如下：也看不出有线性关系，但是，旋转图形，可以看出所有点几乎在一个平面上。这说明，在一个平面上，满足线性关系：或者，换成一个常见的形式其中，是残差。于是，在Matlab软件包中做线性多元回归，写一个M—文件opt_regress_hamilton：x1=[2.23,2.57,3.87,3.10,3.39,2.83,3.02,2.14,3.04,3.26,3.39,2.35,2.76,3.90,3.
8、16]';x2=[9.66,8.94,4.40,6.64,4.91,8.52,8.04,9.05,7.71,5.11,5.05,8.51,6.59,4.90,6.96]';y=[12.37,12.66,12.00,11.93,11.06,13.03,13.13,11.44,12.86,10.84,11.20,11.56,10.83,12.63,12.46]';e=ones(15,1);x=[e,x1
