物理学中的最值问题

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1、物理学中的最值问题安徽省长丰县下塘中学杨机庭关键词：最值、三角函数、均值不等式、求导摘要：针对物理学要培养的思维能力及学生在实际学习中存在的问题，笔者结合具体的物理实例和相关的数学知识，详细分析如何根据物理情境选择合适的方法，来进行最值问题的解答。可高效地培养学生发散性的思维能力。物理学中经常涉及到临界条件的最值问题，多数学生因不能根据具体问题找到恰当的方法来巧妙地解答，而教师往往只给出特殊值，不详细解释个中原因，使学生只知其然不知其所以然，仍一头雾水；再遇到相关问题，仍不知如何解决。这必然成为学生能力提升和发挥的瓶颈。笔者总结发现，解决这类问题的关键是

2、根据具体的情境列出所求量的表达式，再进行数学处理解出所求结果。这类问题都有固定的几种解法。下面逐一列出，仅供参考。一．与力类似的矢量（如E、B等）多用三角函数求最值。Oθ例1.如图质量为M、带电量为+Q的点电荷T用细线系于O点,现将其置于某匀强电场中，βE其可从最低处摆置与竖直方向成θ角而静止，则场β强的最小值为多大，方向如何？解析：设场强与竖直方向的夹角为β（不要设与悬线间的夹角，因悬线不固定），细线对电荷的拉力为T。在最高点时受力平衡,由共点力平衡条件得：Tcosθ+QEcosβ=Mg,Tsinθ=QEsinβ联立解得E=Mgsinθ/Qsin(θ+

3、β)可见当θ+β=90°时，即E垂直悬线时E最小。最小值为E=Mgsinθ/Q。【小试牛刀】1.如图所示，通电导体棒ab质量为m=0.2kg、长为L=1.0m，水平地放置在由两金属导轨形成的倾角为θ=37°的光滑斜面上，通以图示方向的电流，电流强度为I=3A，要求导体棒ab静止在斜面上。(cos37°=0.8,sin37°=0.6,g=10m/s2)求：(1)若磁场方向竖直向上，则磁感应强度B为多大？(2)若要使磁感应强度最小，则磁感应强度的大小、方向如何？2.如图所示倾角为θ的斜面上有一质量为m的光滑金属球，其下固定一挡板。求挡板与斜面间的夹角α为多大

4、时，其受到的压力最小。θ二.对于一些标量或方向确定的矢量多利用均值不等式（a+b≧2③）或完全平方式【(a-b)2≧0】求解例2.如图所示，已知电源电动势E=20V，内阻r=lΩ，电路中标有“3V,6W”的灯泡L和阻值为3.5Ω的定值电阻R0,可变电阻R的阻值为何值时，其消耗的功率最大，最大功率是多少？（灯泡电阻保持不变）解析：灯泡额定电流I额=P额/U额=6W/3V=2A；灯泡电阻RL=U额/I额=3V/2A=1.5Ω；由闭合电路欧姆定律可得：PR=E2R/(R+RL+R0+r)2=400/（R++12）由a+b≧2得当且仅当R=时，即R=6Ω时PR取

5、最大值50/3【一展身手】1.平直的公路上有甲、乙两辆轿车。当一车从静止开始以5m/s2的加速度做匀加速直线运动时，其前方300m处的甲车正以25m/s的速度做匀速直线运动。求当乙车的速度多大时（或经多长时间）两车相距最远，最远距离是多少？2.小亮站在水平地面上，手持不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为M的小球。甩动手腕，使小球在竖直平面内做圆周运动。当某次运动到最低点时绳突然断了，球飞行水平距离L后落地，如图所示。已知握绳的手离地面的距离为d,手与球之间的绳长为3L/4,重力加速度为g.忽略L手的运动半径和空气阻力。求：(1)绳断时球的速度大小v1

6、和球落地时的速度大小v2；(2)绳能承受的最大拉力为多大？L(3)改变绳长，使球重复上述运动，若绳仍在球运动到最低点时断掉，要使球抛出的水平距离最大，绳长应为多少？3.（2014合肥三模第20题）如图，一小球从光滑曲面由静止释放，离开轨道末端后做平抛运动，最后撞到离轨道末端水平距离为d的竖直墙壁上，要使小球撞到墙壁时的速度最小，小球由静止释放的高度h为A.dB.d/2C.d/3D.2d此外，诸如某固定电源，当负载阻值为多大时其输出功率最大，也用此法。三．导数法求最值（导函数f'（x）=0时取最值）。所求量的表达式含有变量的多次幂或多种形式时更适用。③例3

7、每年的7、8月份是长江的主汛期，期间江水流速较大。去年8月的某日，江水的平均流速是15m/s，某机帆船在静水中航速为12m/s，要从江北的安庆到对岸的东至县去执行任务。此处江面的平均宽度为840m且两边江岸较直。要使此船在渡江过程中位移最小，应如何渡江？解析：设船头与上游（或下游）河岸的夹角为θ，分别以v1、v2、d表示题中三个已知量。则有下列关系式：渡江时间t=d/v2sinθ，v2船向下游漂流距离s=（v1－v2cosθ）t，θx船的位移x=[d2+s2]1/2={d2+[(v1－v2cosθ)d/v2sinθ]2}1/2。v1对变量θ进行求导得x'

8、=d[v1v2sin2θ－(v12+v22－2v1v2cosθ)cosθ]/v2