平面与空间直线的方程以及它们的位置关系

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1、平面与空间直线的方程以及它们的位置关系高天仪20101105055数学科学学院数学与应用数学专业10级汉二班指导教师李树霞摘要解析几何中，在建立平面与空间直线的方程与讨论他们的性质时，充分运用了向量这一工具，通过向量来处理这类问题的好处是与坐标的选取是无关的.平面与空间直线方程的建立，就使得有关平面与空间直线的几何问题转化为这些几何对象的方程的代数问题了.在这里，我们通过向量来讨论一下平面和空间直线的方程以及它们之间的位置关系.关键词法向量方向向量参数方程1空间平面的方程1.1空间平面的一般方程一个平面是由垂直它的非零向量和平面上的一个点唯一决定

2、的，称为的法向量.由于为平面的法向量，为上一点，则对于空间中任意一点，在上当且仅当或（1.1—1）用坐标来表示，化为令，则得到平面的方程（1.1—2）这样，任何一张平面都可以用一个三元一次方程来表示.反之，对于任何一个三元一次方程不全为0不妨设，则该方程又可写成作过点，垂直于方向的平面，则这个平面的方程就是所给出的方程，即一个三元一次方程表示一个平面..由（1.1—2）表示的方程称为平面的一般方程.1.2空间平面的法式方程把（1.1—1）式两边同时与相乘，符号的选取使得.这样为从原点指向平面的单位向量为原点与平面的距离.此时可以得到的另一种方程表

3、示，，称为平面的法式方程，选取的称为法化因子.它的几何意义是：平面是由所有的满足在垂直于的直线上投影向量为的点构成的.若以给平面的方程为则的法式方程可以表示成其中法化因子，正负号的选取要使得.法式方程常用来处理和点与平面的距离有关的问题.1.3空间平面的参数方程图1从图1中可以看出，平面是由上一点与两个不共线的与平行的向量（或者说是上两个不共线的向量）所决定的.设，，，，与平行且.则空间中任意一点在上，当且仅当,,三向量共面.从而有实数，，使得或者使用分量来表示，则可得到（1.3—1）我们称（1.3—1）为平面的参数方程，其中参数为和.从（1.3

4、—1）中消去参数，，可以得到关于,,的三元一次方程=01.4空间平面的截距式方程对于由方程所表示的平面.假设过原点O，即在上当且仅当.若，则平面可用方程（1.4—1）表示，其中，，分别为与三个坐标轴的交点坐标.则我们称（1.4—1）为平面的截距式方程.2空间直线的方程2.1直线的对称式（点向式）方程空间给定了一点与一个非零向量,那么通过点且与向量平行的直线就被唯一确定,向量叫直线的方向向量.任何一个与直线平行的非零向量都可以作为直线的方向向量.图2如图2，直线过点,方向向量.设为上任意一点,,,由于与(非零向量)共线,则即（2.1-1）叫做直线的

5、向量式参数方程，（其中为参数）.如果设，,又设，那么由（2.1-1）式得（2.1-2）叫做直线的坐标式参数方程.消参数即得(2.1-3)叫做直线的对称式方程或称直线标准方程.例1求通过空间两点，的直线方程.(图3)解取作为直线的方向向量，设为直线上的任意点（如图3），那么所以直线的向量式参数方程为（2.1-4）坐标式参数方程为（2.1-5）对称式方程为（2.1-6）方程（2.4-4）（2.4-5）（2.4-6）都叫做直线的两点式方程.若取直线的方向向量为,则直线的方程为(参数方程)或（2.1-7）标准方程（2.1-8）由此可见参数的几何意义:为直

6、线上点与点之间的距离.定义1设直线的方向向量的分量为，则直线的方向余弦为2.2空间直线的一般方程空间直线可以看作两个平面的交线.如果两个相交平面的方程分别为和（），则它们的交线是空间直线.该直线上任何一点的坐标应同时满足这两个平面方程，而不在该直线上的点的坐标不能同时满足这两个方程.所以方程组（2.2-1）就是这两个平面交线的方程.方程（2.2-1）称为空间直线的一般方程.2.3直线的射影式方程由于直线的表示法不唯一,也可以用简单的两平面来表示.如将一般方程(特殊的一般方程)化为(2.3-1）则此方程是直线的射影式方程.3空间中直线与平面的位置关

7、系3.1空间直线与平面的位置关系定理1已知直线和平面的方程为则直线与平面相交的充要条件是直线与平面平行的充要条件是直线在平面上的充要条件是例2试求，，使得直线在坐标平面上.解在直线的方程中，令解得，，得是直线上的点.由于直线的方向向量为，坐标平面的方程是，它的法向量是，依题设得直线上的点在坐标平面上，且直线的方向向量与平面的法向量垂直，即解得，.3.2空间直线与平面的交角设直线和平面的交角为.当时，；当时，；其他情况下，等于与它在上的射影直线所交的锐角.设是的方向向量与的法向量之间的夹角，则有或或因此在这两种情况下，都有.定理2已知直线和平面的方

8、程为设和的交角为，则例3证明直线和平面相交，并求它们的交点与交角.解将直线的方程化为参数方程将代入平面的方程整理得解得，将此值代入得.因