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《2017年高中数学教a版选修4-1学案：互动课堂第二讲二圆内接四边形的性质与判定定理word版含解析》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、互动课堂重难突破 一、圆内接四边形的性质定理圆内接四边形的性质定理包括两个:定理1是圆的内接四边形对角互补;定理2是圆的内接四边形的外角等于它的内角的对角.这两个定理表述形式稍有差别,但反映的本质相同,都反映了圆内接四边形所具有的特征.利用这两个定理,可以借助圆变换角的位置,得到角的相等关系或互补关系,再进行其他的计算或证明.利用这两个定理可以得出一些重要结论,如内接于圆的平行四边形是矩形;内接于圆的菱形是正方形;内接于圆的梯形是等腰梯形.应用这些性质可以大大简化证明有关几何题的推理过程.二、圆内接四边形的判定定理1.定理:如果一个四边
2、形的一组对角互补,那么这个四边形内接于圆.2.符号语言表述:在四边形ABCD中,如果∠B+∠D=180°,那么四边形ABCD内接于圆.3.证明思路:要证明四边形ABCD内接于圆,就是要证明A、B、C、D四点在同一个圆上.根据我们的经验,若能证明这四个点到一个定点距离相等即可.但是这个定点一时还找不出来.不过对于不在同一条直线上的三点来说,总可以确定一个圆.因此我们可以先经过A、B、C、D中的任意三个点,譬如过A、B、C三点作一个圆,再证明第四个点D也在这个圆上就可以了.但是直接证明点D在圆上很困难,所以我们采用反证法证明.也就是假设点D不在圆上,
3、经过推理论证,得出错误的结论,这就说明点D不在圆上是错误的,因此点D只能在圆上.图2-2-1 由于点D不在圆上时,可能出现点D在圆外和点D在圆内两种情况,所以应分别加以证明,下面先讨论点D在圆内的情况.假设点D在圆内,若作出对角线BD,延长BD和圆交于D′,连结AD′、CD′,则ABCD′为圆内接四边形(如图221),则∠ABC+∠AD′C=180°.另一方面,因为∠ADB、∠BDC分别是△AD′D和△CD′D的外角,所以有∠AD′B<∠ADB,∠BD′C<∠BDC,于是有∠AD′C<∠ADC.因为已知∠ABC+∠ADC=180°,所以∠AB
4、C＋∠AD′C<180°,这与圆内接四边形的性质定理矛盾.因此可证点D不能在圆内.用类似的方法也可以证明点D也不能在圆外.因此点D在圆上,即四边形ABCD内接于圆.三、判定四点共圆的方法(1)如果四个点与一定点距离相等,那么这四个点共圆.(2)如果一个四边形的一组对角互补,那么这个四边形的四个顶点共圆.(3)如果一个四边形的一个外角等于它的内对角,那么这个四边形的四个顶点共圆.(4)如果两个直角三角形有公共的斜边,那么这两个三角形的四个顶点共圆(因为四个顶点与斜边中点距离相等).四、刨根问底问题圆内接四边形判定定理的证明,推导出
5、与圆内接四边形性质定理相矛盾的结果,体现了反证法证明几何命题的基本思路.反证法是证明问题的有效方法,那么与正面证明相比较,反证法有什么特点？它证明问题的步骤怎样？它有什么优点？探究:反证法是一种间接证法,它是先提出一个与命题的结论相反的假设,然后从这个假设出发,经过正确的推理,导致矛盾,从而否定相反的假设,达到肯定原命题正确的一种方法.反设是反证法的基础,为了正确地作出反设,掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的,例如:是/不是;存在/不存在;平行于/不平行于;垂直于/不垂直于;等于/不等于;大(小)于/不大(小)于;都是/不都是;至少有一
6、个/一个也没有;至少有n个/至多有(n-1)个;至多有一个/至少有两个;唯一/至少有两个.归谬是反证法的关键,导出矛盾的过程没有固定的模式,但必须从反设出发,否则推导将成为无源之水,无本之木.推理必须严谨.导出的矛盾有如下几种类型:与已知条件矛盾,与已知的公理、定义、定理、公式矛盾,与反设矛盾,自相矛盾.反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不止一种),如在上述定理证明中,假设点D不在圆上,则有点D在圆外和点D在圆内两种情况,必须一一证出这两种情况都不成立后,才能肯定点D在圆上.用反证法证明一个命题的步骤,
7、大体上分为:(1)反设;(2)归谬;(3)结论.对于一些从正面难以说明的问题,反证法往往有着出奇制胜的作用.活学巧用【例1】圆内接四边形ABCD中,若∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶4,则∠D=.思路解析:由圆内接四边形性质可知:∠A+∠C=180°,根据∠A∶∠C=2∶4,可求出∠A和∠C,从而求出∠B和∠D.方法一:∵四边形ABCD内接于圆,∴∠A+∠C=180°.又∠A∶∠C=2∶4,∴∠A=60°,∠C=120°.又∠A∶∠B=2∶3,∴∠B=90°.∴∠D=180°-∠B=90°.方法二:∵∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶4,又
8、∠A+∠C=∠B+∠D,∴∠A∶∠B∶∠C∶∠D=2∶3∶4∶3.∴∠B=∠D.又∠B+∠D=180°,∴∠D=90°.答案:90°
