第七章 多元函数微分法及其应用

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1、第七章多元函数微分法及其应用第一节多元函数的基本概念一、平面点集n维空间1．区域由平面解析几何知道,当在平面上引入了一个直角坐标系后,平面上的点与有序二元实数组(x,y)之间就建立了一一对应.于是,我们常把有序实数组(x,y)与平面上的点P视作是等同的.这种建立了坐标系的平面称为坐标平面.二元的序实数组的全体，即就表示坐标平面。坐标平面上具有某种性质的点的集合，称为平面点集，记作邻域：设是xOy平面上的一个点，是某一正数与点距离小于的点的全体称为点的邻域记为，即或邻域的几何意义:U(P0,d)表示xOy平面上以点P0(x0,y0)为中心、>0为半径的圆的内部的点P(x,y)的全体

2、.点P0的去心邻域,记作,即.注:如果不需要强调邻域的半径d,则用U(P0)表示点P0的某个邻域,点P0的去心邻域记作.点与点集之间的关系:任意一点PÎR2与任意一个点集EÌR2之间必有以下三种关系中的一种:(1)内点:如果存在点P的某一邻域U(P),使得U(P)ÌE,则称P为E的内点;(2)外点:如果存在点P的某个邻域U(P),使得U(P)ÇE=Æ,则称P为E的外点;(3)边界点:如果点P的任一邻域内既有属于E的点,也有不属于E的点,则称P点为E的边点.E的边界点的全体,称为E的边界,记作¶E.E的内点必属于E;E的外点必定不属于E;而E的边界点可能属于E,也可能不属于E.聚点:如果

3、对于任意给定的d>0,点P的去心邻域内总有E中的点,则称P是E的聚点.由聚点的定义可知,点集E的聚点P本身,可以属于E,也可能不属于E.例如,设平面点集E={(x,y)

4、1

5、1

6、y)

7、1£x2+y2£2}.集合{(x,y)

8、1

9、1

10、1£x2+y2£2}.有界集:对于平面点集E,如果存在某一正数r,使得EÌU(O,r),其中O是坐标原点,则称E为有界点集.无界集:一个集合如果不是有界集,就称这集合为无界集.例如，集合{(x,y)

11、1£x2+y2£2}是有界闭区域;集合{(x,y)

12、

13、x+y>1}是无界开区域;集合{(x,y)

14、x+y³1}是无界闭区域.2.维空间设n为取定的一个自然数,我们用Rn表示n元有序数组(x1,x2,×××,xn)的全体所构成的集合,即Rn=R´R´×××´R={(x1,x2,×××,xn)

15、xiÎR,i=1,2,×××,n}.Rn中的元素(x1,x2,×××,xn)有时也用单个字母x来表示,即x=(x1,x2,×××,xn).当所有的xi(i=1,2,×××,n)都为零时,称这样的元素为Rn中的零元,记为0或O.在解析几何中,通过直角坐标,R2(或R3)中的元素分别与平面(或空间)中的点或向量建立一一对应,因而Rn中的元素x=(x1,x

16、2,×××,xn)也称为Rn中的一个点或一个n维向量,xi称为点x的第i个坐标或n维向量x的第i个分量.特别地,Rn中的零元0称为Rn中的坐标原点或n维零向量.二、多元函数概念定义1设D是R2的一个非空子集,称映射f:D®R为定义在D上的二元函数,通常记为z=f(x,y),(x,y)ÎD(或z=f(P),PÎD)其中点集D称为该函数的定义域,x,y称为自变量,z称为因变量.上述定义中,与自变量x、y的一对值(x,y)相对应的因变量z的值,也称为f在点(x,y)处的函数值,记作f(x,y),即z=f(x,y).值域:f(D)={z

17、z=f(x,y),(x,y)ÎD}.函数的其它符号:z=

18、z(x,y),z=g(x,y)等.【例１】圆柱体的体积V和它的底半径r、高h之间具有关系V=pr2h.这里,当r、h在集合{(r,h)

19、r>0,h>0}内取定一对值(r,h)时,V对应的值就随之确定.【例2】一定量的理想气体的压强p、体积V和绝对温度T之间具有关系,其中R为常数.这里,当V、T在集合{(V,T)

20、V>0,T>0}内取定一对值(V,T)时,p的对应值就随之确定.三、多元函数的极限与一元函数的极限概念类似,如果在P(x,y)®P0(