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《第六讲：函数与方程思想》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第六讲：函数与方程思想一、知识整合1．函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题。2．方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。方程的数学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题。方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系.3．(1
2、)函数和方程是密切相关的，对于函数y＝f(x)，当y＝0时，就转化为方程f(x)＝0，也可以把函数式y＝f(x)看做二元方程y－f(x)＝0。函数问题（例如求反函数，求函数的值域等）可以转化为方程问题来求解，方程问题也可以转化为函数问题来求解，如解方程f(x)＝0，就是求函数y＝f(x)的零点。(2)函数与不等式也可以相互转化，对于函数y＝f(x)，当y>0时，就转化为不等式f(x)>0，借助于函数图像与性质解决有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式。(3)数列的通项或前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点处理数列问题十分重要。(4)函数f(x)＝（n∈N*）
3、与二项式定理是密切相关的，利用这个函数用赋值法和比较系数法可以解决很多二项式定理的问题。(5)解析几何中的许多问题，例如直线和二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，涉及到二次方程与二次函数的有关理论。(6)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用布列方程或建立函数表达式的方法加以解决。二、例题分析例1动点在正方体的对角线上．过点作垂直于平面的直线，与正方体表面相交于．设，，则函数的图象大致是（）ABCDNPA1B1C1D1yxA．OyxB．OyxC．OyxD．OMABCD解：设正方体的棱长为，由图形的对称性知点始终是的中点，而且随着点从点向的
4、中点滑动，值逐渐增大到最大，再由中点向点滑动，而逐渐变小，排除，把向平面内正投影得，则=，由于8，∴，所以当时，为一次函数，故选例1关于x的方程sinx＋cosx＋＝0有实根，则实数的取值范围是_________．设cosx＝t，t∈[-1,1]，则sinx+t2=1则a＝t－t－1∈[,1]，所以答案：[,1]例2设不等式2x－1>m(x－1)对满足
5、m
6、≤2的一切实数m的取值都成立．则x的取值范围为__________．问题可变成关于m的一次不等式：(x－1)m－(2x－1)<0在[-2,2]恒成立，设f(m)＝(x－1)m－(2x－1),则解得x∈（,）例3关于x的
7、不等式2·32x–3x+a2–a–3＞0，当0≤x≤1时恒成立，则实数a的取值范围为解析设t=3x，则t∈［1,3］，原不等式可化为a2–a–3＞–2t2+t,t∈［1,3］等价于a2–a–3大于f(t)=–2t2+t在［1,3］上的最大值答案(–∞,–1)∪(2,+∞)例4已知关于的方程的两个实根、满足＜＜，则实数m的取值范围_______________。解析：把方程看成二次函数,满足＜＜，所以答案：；例5已知，t∈[，8]，对于f(t)值域内的所有实数m，不等式恒成立，求x的取值范围。解析∵t∈[，8]，∴f(t)∈[，3]原题转化为：>0恒成立，为m的一次函数（这
8、里思维的转化很重要）当x＝2时，不等式不成立。∴x≠2。令g(m)＝，m∈[，3]问题转化为g(m)在m∈[，3]上恒对于0，则：；解得：x>2或x<－18例1设命题p：函数的定义域为R；命题q：不等式对一切正实数x均成立，如果命题“p或q”为真命题，命题“p且q”为假命题，求实数a的取值范围．解：p为真恒成立时恒成立或q为真对恒成立而在x>0时单调递减∴∴即q为真∵“p或q”为真，“p且q”为假∴p真q假时，a>2且a<1即a不存在p假q真时，∴a的取值范围为[1，2]例2已知二次函数f(x)=ax2+bx(a,b为常数，且a≠0)满足条件:f(x–1)=f(3–x)且
9、方程f(x)=2x有等根（1）求f(x)的解析式；（2）是否存在实数m，n(m＜n),使f(x)定义域和值域分别为［m,n］和［4m,4n］，如果存在，求出m、n的值；如果不存在，说明理由解（1）∵方程ax2+bx=2x有等根，∴Δ=(b–2)2=0,得b=2由f(x–1)=f(3–x)知此函数图像的对称轴方程为x=–=1得a=–1，故f(x)=–x2+2x（2）f(x)=–(x–1)2+1≤1，∴4n≤1，即n≤而抛物线y=–x2+2x的对称轴为x=1∴n≤时，f(x)在［m,n］上为增函数若满足题设条件的m,n存在，则8又
