数学思想第一讲函数与方程思想.ppt

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1、专题八　思想方法专题第一讲　函数与方程思想函数思想一般地，函数思想就是构造函数从而利用函数的图象与性质解题，经常利用的性质是：单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等．在解题中，善于挖掘题目的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键，它广泛地应用于方程、不等式、数列等问题．方程思想1．方程的思想就是将所求的量(或与所求的量相关的量)设成未知数，用它表示问题中的其他各量，根据题中的已知条件，列出方程(组)，通过解方程或对方程进行研究，使问题得到解决．2．方程的思想与函数的思想密切相关：方程f(x)＝0的解就是函数y

2、＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标；函数y＝f(x)也可以看作二元方程f(x)－y＝0，通过方程进行研究，方程f(x)＝a有解，当且仅当a属于函数f(x)的值域．函数与方程的这种相互转化关系十分重要．函数与方程的思想在解题中的应用函数与方程思想解决的相关问题．1.函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：(1)借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；(2)在研究问题中通过建立函数关系式或构造中间函数，把研究的问题化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的．2.方程思想在解题中的应用主要表

3、现在四个方面：(1)解方程或解不等式；(2)带参变数的方程或不等式的讨论，常涉及一元二次方程的判别式、根与系数的关系、区间根、区间上恒成立等知识应用；(3)需要转化为方程的讨论，如曲线的位置关系等；(4)构造方程或不等式求解问题．1．方程m＋＝x有解，则m的最大值为()A．1B．0C．－1D．－2A2．把长为12cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是()突破点1运用函数与方程思想解决字母(或式子)的求值或取值范围问题已知a，b，c∈R，a＋b＋c＝0，a＋bc－1＝0，求a的取值范围．思路点拨：本题可以根

4、据题设条件将b，c的和与积用a表示，构造一元二次方程，然后利用一元二次方程有解，其判别式Δ≥0，再构建a的不等式求解．或根据题设条件将a表示成c的函数转化为求函数的值域问题求解．规律方法：(1)求字母(或式子)的值问题往往要根据题设条件构建以待求字母(或式子)为元的方程(组)，然后由方程(组)求得.(2)求参数的取值范围是函数、方程、不等式、数列、解析几何等问题中的重要问题.解决这类问题一般有两条途径，其一，充分挖掘题设条件中的不等关系，构建以待求字母为元的不等式(组)求解；其二，充分应用题设中的等量关系，将待求参数表示成其他变量的函数，然后应用

5、函数知识求值域.(3)当问题中出现两数积与这两数和时，是构建一元二次方程的明显信号，构造方程后再利用方程知识可使问题巧妙解决.(4)当问题中出现多个变量时，往往要利用等量关系去减少变量的个数，如最后能把其中一个变量表示成关于另一个变量的表达式，那么就可用研究函数的方法将问题解决.跟踪训练1．若a，b是正数，且满足ab＝a＋b＋3，求ab的取值范围．突破点2运用函数与方程思想解决方程问题如果方程cos2x－sinx＋a＝0在上有解，求a的取值范围．思路点拨：可分离变量为a＝－cos2x＋sinx，转化为确定的相关函数的值域．规律方法：研究此类含参数

6、的三角、指数、对数等复杂方程解的问题，通常有两种处理思路：一是分离参数构建函数，将方程有解转化为求函数的值域；二是换元，将复杂方程问题转化为熟悉的二次方程，进而利用二次方程解的分布情况构建不等式或构造函数加以解决.跟踪训练2．如果方程lg(x－1)＋lg(3－x)＝lg(a－x)(a∈R)有解，求实数a的取值范围．突破点3运用函数与方程思想解决不等式问题(1)已知x，y∈R，且2x＋3y>2－y＋3－x，那么()A．x＋y<0B．x＋y>0C．xy<0D．xy>0思路点拨：(1)先把它变成等价形式2x－3－x>2－y－3y，再构造辅助函数f(x)

7、＝2x－3－x，利用函数单调性比较．解析：(1)设f(x)＝2x－3－x.因为y＝2x，y＝－3－x均为R上的增函数，所以f(x)＝2x－3－x是R上的增函数．又由2x－3－x>2－y－3y＝2－y－3－(－y)，即f(x)>f(－y)，∴x>－y，即x＋y>0.(2)设不等式2x－1>m(x2－1)对满足m∈[－2,2]的一切实数m都成立，求x的取值范围．思路点拨：此问题由于是常见的思维定势，易把它看成关于x的不等式讨论，若变换一个角度，以m为变量，使f(m)＝(x2－1)m－(2x－1)，则问题转化为求一次函数(或常函数)f(x)的值在[－2

8、,2]内恒负时，参数x应满足的条件．误区警示：本题易误为关于x的不等式在[－2,2]上恒成立，求m的取值范围．规律方法：(1)在解决值的