国外不等式教与学研究综述

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1、国外不等式教与学研究综述*本文得到国家理科人才培养基地“能力提高”项目经费的资助。【作者简介】杨懿荔（1991-），华东师大数学系硕士研究生，主要从事中学数学教育研究。杨懿荔（华东师范大学数学系,上海,200241）摘要：近十几年来，国外数学教育研究者对于各类不等式的教与学做了大量的实证研究。关于不等式的学习，研究者主要关注学生解不等式的策略、错误、迷思概念与困难；关于不等式的教授，研究者在实证研究基础上提出了一些教学策略。这些研究大大丰富了我们的不等式教学知识，为不等式的教学和相关研究提供了参考。关键词：不等式；策略；错误；迷思

2、概念1引言众所周知，不等式在分析、代数、三角、线性规划等众多数学领域中有着广泛的应用，在中学数学课程中，不等式占有重要地位，先后涉及一次、二次、绝对值、分式、根式不等式以及与幂函数、指数函数、对数函数和三角函数相关的不等式等。研究学生解不等式的思维方式、困难和障碍，可以为改善教学提供借鉴。近十几年来，国外学者对于不等式的教与学做了大量的实证研究，涉及的不等式有一元一次不等式、一元二次不等式、一元高次不等式、绝对值不等式、分式不等式和根式不等式等。这些研究主要从教与学两个方面展开。关于不等式的学习，研究者主要关注学生解不等式的策略、

3、错误、迷思概念、困难或障碍；而关于不等式的教授，研究者主要关注不等式的教学方法和策略。关于不等式的教与学，研究方法主要有两类。第一类是问卷调查、测试和访谈。通过问卷调查或测试找出学生解不等式的策略、错误，再通过访谈，从数学教育心理学角度探究错误的成因。第二类是课堂观察，观察学生在课堂中的表现以及教学前后学生的认知变化。那么，国外关于不等式教学研究得到了哪些结果？为了回答上述问题，本文按照不等式的类型对有关文献进行梳理、分析和总结，以期为不等式的教学和进一步的相关研究提供参考。112学生解不等式的策略与错误2.1一元一次不等式关于一

4、元一次不等式，研究者关注学生从方程到不等式过渡时的困难以及解含参数不等式的策略与错误。Verikios&Farmaki(2008)就一个出租车计费问题，对5名13岁学生进行访谈，研究他们在从一元一次方程过渡到一元一次不等式时的困难。研究发现，学生有三类错误：（1）两边同除以一个负数时未改变不等号方向；（2）将和等同起来；（3）认为不等式的解和方程的解一样是单个值，而未能意识到解是一个区间[1]。Tsamir&Bazzini(2002a)通过对402名16-17岁学生（192名来自意大利、210名来自以色列）的测试发现，学生解含参数

5、不等式的正确率很低。如对于不等式，一些学生得出，一些学生得出，没有任何限制条件。研究表明，学生将解方程的方法迁移到了不等式；一些学生甚至认为，解方程和解不等式的方法完全相同[2]。Tsamir&Bazzini(2002b)发现，学生错误的解题模式一般有两种：一是同时在不等号两边做运算；二为将“”的情况单独考虑，然后再在不等号两边同时做运算[3]。Blanco&Garrote(2007)通过研究发现，学生在解含参数的一次不等式时，会混淆未知数和参数，从而失去解题思路。有些学生能够区分参数和未知数，但未能对参数进行分类讨论[4]。2.

6、2一元二次不等式Tsamir&Reshef(2006)通过研究20名十年级学生在课堂教学后的表现，发现学生在解二次不等式时主要采用了图像法、数轴标根法和逻辑连接符法（即将二次不等式转化为一次不等式组），其中图像法最受学生的青睐[5]。Sackur(2004)在研究中也发现，由于图形计算器的出现，学生更倾向于利用图像比较两个函数，以此来解不等式问题[6]。Tsamir&Almog(2001)则发现，学生在解形如的二次不等式时，采用了求相应方程的根或判定二次项系数和判别式的正负等策略[7]。学生在解此类不等式时，出现的错误有：弄错抛物

7、线的开口方向；忽视首项系数的正负性；没有掌握逻辑连接词的意义，分不清“且”和“或”，其中最后一类错误最常见。研究11发现，学生在解一元二次不等式时，会涉及两个关键值，这大大增加了发生此类错误的概率[7]。Blanco&Garrote(2007)也有类似的发现：学生习惯将不等式转化为方程来解，以便求出关键值[4]。但是学生往往不知道未知数和关键值之间的大小关系；有些学生虽知道大小关系，却不知道两个关系之间应该用“且”还是“或”；或者很草率地将两个答案连接起来：如对于或，有些学生会直接写作；更有学生很草率地将其中一个答案舍去。也有学生

8、会将不等式过度一般化，如[7]。Tsamir&Almog(2001)在调查中发现，学生在遇到一元二次不等式和分式不等式时，特别容易出现此类错误。但在用数轴来解有关于逻辑连接词“且”和“或”的不等式时，多数学生的正确率会有明显的提高[7]。解一元二次