数学经典易错题会诊与高考试题预测4

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1、经典易错题会诊与2012届高考试题预测(四)考点4数列经典易错题会诊命题角度1数列的概念命题角度2等差数列命题角度3等比数列命题角度4等差与等比数列的综合命题角度5数列与解析几何、函数、不等式的综合命题角度6数列的应用探究开放题预测预测角度1数列的概念预测角度2等差数列与等比数列预测角度3数列的通项与前n项和预测角度4递推数列与不等式的证明预测角度5有关数列的综合性问题预测角度6数列的实际应用预测角度7数列与图形经典易错题会诊命题角度1数列的概念1.(典型例题)已知数列{an}满足a1=1,an=a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1,(n≥2)

2、,则{an}的通项an=_________.[考场错解]∵an=a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1,∴an-1=a1+2a2+3a3+…+(n-2)an-2,两式相减得an-an-1=(n-1)an-1,∴an=nan-1.由此类推:an-1=(n-1)an-2,…a2=2a1,由叠乘法可得an=[专家把脉]在求数列的通项公式时向前递推一项时应考虑n的范围.当n=1时,a1=与已知a1=1,矛盾.[对症下药]∵n≥2时,an=a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1①当n≥3时,an-1=a1+2a2+3a3+…+(n-2)·an-2②①

3、-②得an-an-1=(n-1)·an-1∴当n≥3时,=n,∵an=··...·=n·…·4·3×a2=a2,∵a2=a1=142∴当n≥2时,an=.当n=1时,a1=1故an=2.(典型例题)设数列{an}的前n项和为Sn,Sn=(对于所有n≥1),且a4=54,则a1的数值是________.[考场错解]∵Sn==,∴此数列是等比数列,首项是a1,公比是3,由a4=a1·34-1,∴a1=2.[专家把脉]此题不知数列{an}的类型,并不能套用等比数列的公式.而答案一致是巧合.[对症下药]∵a4=S4-S3=(34-1)-(33-1)=54,解得

4、a1=2.3.(典型例题)已知数列{an}满足a1=1,an=3n-1+an-1(n≥2).(1)求a2,a3;(2)求通项an的表达式.[考场错解](1)∵a1=1,∴a2=3+1=4,a3=32+4=13.(2)由已知an=3n-1+an-1,即an-an-1=3n-1即an成等差数列,公差d=3n-1.故an=1+(n-1)·3n-1.[专家把脉](2)问中an-an-1=3n-1,3n-1不是常数,它是一个变量,故不符合等差数列的定义.[对症下药](1)∵a1=1,∴a2=4,a3=32+4=13.(2)由已知an-an-1=3n-1,故an=

5、(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=3n-1+3n-2+…+3+1=. 4.(典型例题Ⅲ)等差数列{an}中,a1+a2+a3=-24,a18+a19+a20=78,则此数列前20项和等于()A.160B.180C.200D.220[考场错解]由通项公式an=a1+(n+1)d.将a2,a3,a18,a19,a20都表示成a1和d.求a1、d,再利用等差数列求和,选C.[专家把脉]此方法同样可求得解.但解法大繁,花费时间多,计算量大故而出错,应运用数列的性质求解就简易得多.[对症下药]B由公式m+n=2Pam+an=2

6、ap?(只适用等差数列)即可求解.由a1+a2+a3=-24,可得:3a2=-24由a18+a19+a20=78,可得:3a19=78即a2=-8,a19=26又∵S20==10(a2+a19)=1802.(典型例题)若{an}是等差数列,首项a1>0,a2003+a2004>0,a2003·a2004<0,则使前n项和Sn>0成立的最大自然数n是()A.4005B.4006C.4007D.4008 42[考场错解]∵a2004+a2003>0,即2a1+2002d+2003d>0,(a1+2002d)(a1+2003d)<0,要使Sn>0.即使na1

7、+d>0.这样很难求出a1,d.从而求出最大的自然数n.故而判断a2003>0,a2004<0,所以前2003项为正,从第2004项起为负,由等差数列的n项和的对称性使Sn>0.故而取n=4005使Sn>0.[专家把脉]此题运用等差数列前n项的性质及图象中应注意.a2003>0,a2004<0.且忽视了这两项的大小.[对症下药]B∵a1>0,a2003+a2004>0,a2003·a2004<0,且{an}为等差数列∴{an}表示首项为正数,公差为负数的单调递减等差数列,且a2003是绝对值最小的正数,a2004是绝对值最大的负数(第一个负数),且

8、a

9、2003

10、>

11、a2004

12、∴在等差数列{an}中,a2003+a2004=a1+a4006>0

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