数学经典易错题会诊与高考试题预测4

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1、经典易错题会诊与2012届高考试题预测(四)考点4数列经典易错题会诊命题角度1数列的概念命题角度2等差数列命题角度3等比数列命题角度4等差与等比数列的综合命题角度5数列与解析几何、函数、不等式的综合命题角度6数列的应用探究开放题预测预测角度1数列的概念预测角度2等差数列与等比数列预测角度3数列的通项与前n项和预测角度4递推数列与不等式的证明预测角度5有关数列的综合性问题预测角度6数列的实际应用预测角度7数列与图形经典易错题会诊命题角度1数列的概念1．(典型例题)已知数列｛an｝满足a1=1,an=a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1,(n≥2)

2、，则｛an｝的通项an=_________.[考场错解]∵an=a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1，∴an-1=a1+2a2+3a3+…+(n-2)an-2，两式相减得an-an-1=(n-1)an-1，∴an=nan-1.由此类推：an-1=(n-1)an-2，…a2=2a1，由叠乘法可得an=[专家把脉]在求数列的通项公式时向前递推一项时应考虑n的范围．当n=1时，a1=与已知a1=1，矛盾．[对症下药]∵n≥2时，an=a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1①当n≥3时，an-1=a1+2a2+3a3+…+(n-2)·an-2②①

3、-②得an-an-1=(n-1)·an-1∴当n≥3时，=n，∵an=··．．．·=n·…·4·3×a2=a2，∵a2=a1=142∴当n≥2时，an=.当n=1时，a1=1故an=2．(典型例题)设数列｛an｝的前n项和为Sn,Sn=(对于所有n≥1)，且a4=54，则a1的数值是________.[考场错解]∵Sn==,∴此数列是等比数列，首项是a1，公比是3，由a4=a1·34-1，∴a1=2．[专家把脉]此题不知数列｛an｝的类型，并不能套用等比数列的公式．而答案一致是巧合．[对症下药]∵a4=S4-S3=(34-1)-(33-1)=54，解得

4、a1=2．3.(典型例题)已知数列｛an｝满足a1=1，an=3n-1+an-1(n≥2)．(1)求a2，a3；(2)求通项an的表达式．[考场错解](1)∵a1=1，∴a2=3+1=4，a3=32+4=13．(2)由已知an=3n-1+an-1，即an-an-1=3n-1即an成等差数列，公差d=3n-1．故an=1+(n-1)·3n-1．[专家把脉](2)问中an-an-1=3n-1，3n-1不是常数，它是一个变量，故不符合等差数列的定义．[对症下药](1)∵a1=1，∴a2=4，a3=32+4=13．(2)由已知an-an-1=3n-1，故an=

5、(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=3n-1+3n-2+…+3+1=.　4．(典型例题Ⅲ)等差数列｛an｝中，a1+a2+a3=-24，a18+a19+a20=78，则此数列前20项和等于()A.160B．180C.200D．220[考场错解]由通项公式an=a1+(n+1)d.将a2,a3，a18，a19，a20都表示成a1和d.求a1、d，再利用等差数列求和，选C．[专家把脉]此方法同样可求得解．但解法大繁，花费时间多，计算量大故而出错，应运用数列的性质求解就简易得多．[对症下药]B由公式m+n=2Pam+an=2

6、ap?(只适用等差数列)即可求解．由a1+a2+a3=-24，可得：3a2=-24由a18+a19+a20=78，可得：3a19=78即a2=-8，a19=26又∵S20==10(a2+a19)=1802．(典型例题)若｛an｝是等差数列，首项a1＞0，a2003+a2004>0，a2003·a2004＜0，则使前n项和Sn>0成立的最大自然数n是()A.4005B．4006C.4007D.4008 42[考场错解]∵a2004+a2003>0，即2a1+2002d+2003d>0，(a1+2002d)(a1+2003d)<0，要使Sn>0．即使na1

7、+d＞0．这样很难求出a1，d.从而求出最大的自然数n.故而判断a2003>0，a2004<0，所以前2003项为正，从第2004项起为负，由等差数列的n项和的对称性使Sn＞0．故而取n=4005使Sn>0．[专家把脉]此题运用等差数列前n项的性质及图象中应注意．a2003>0，a2004<0．且忽视了这两项的大小．[对症下药]B∵a1>0，a2003+a2004>0，a2003·a2004＜0，且｛an｝为等差数列∴{an}表示首项为正数，公差为负数的单调递减等差数列，且a2003是绝对值最小的正数，a2004是绝对值最大的负数(第一个负数)，且

8、a

9、2003

10、＞

11、a2004

12、∴在等差数列｛an｝中，a2003+a2004=a1+a4006>0