2016届高三数学一轮复习（知识点归纳与总结）：三角函数的图像与性质

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1、第三节　三角函数的图象与性质[备考方向要明了]考什么怎么考1.能画出y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的图象，了解三角函数的周期性．2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x轴的交点等)，理解正切函数在区间内的单调性.1.以选择题或填空题的形式考查三角函数的单调性、周期性及对称性．如2012年新课标全国T9等．2.以选择题或填空题的形式考查三角函数的值域或最值问题．如2012年湖南T6等．3.与三角恒等变换相结合出现在解答题中．如2012年北京T15等.[归纳·知识整合]正弦函数、余弦函数、正切函数的图

2、象和性质函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RRk∈Z}值域[－1,1][－1,1]R单调性递增区间：(k∈Z)递减区间：(k∈Z)递增区间：[2kπ－π，2kπ](k∈Z)递减区间：[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)递增区间：(k∈Z)最　值x＝2kπ＋(k∈Z)时，ymax＝1x＝2kπ－(k∈Z)时，ymin＝－1x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1x＝2kπ＋π(k∈Z)时，ymin＝－1无最值奇偶性奇函数偶函数奇函数对称性对称中心(kπ，0)，k∈Z对称中心，k∈Z对称中心(k∈Z)对称轴lx＝kπ＋，k∈Z对称轴lx＝kπ，k∈

3、Z无对称轴周期2π2ππ[探究]　1.正切函数y＝tanx在定义域内是增函数吗？提示：不是．正切函数y＝tanx在每一个区间(k∈Z)上都是增函数，但在定义域内不是单调函数，故不是增函数．2．当函数y＝Asin(ωx＋φ)分别为奇函数和偶函数时，φ的取值是什么？对于函数y＝Acos(ωx＋φ)呢？提示：函数y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时是奇函数，当φ＝kπ＋(k∈Z)时是偶函数；函数y＝Acos(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时是偶函数，当φ＝kπ＋(k∈Z)时是奇函数．[自测·牛刀小试]1．(教材习题改编)设函数f(x)＝sin，

4、x∈R，则f(x)是(　　)A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为的偶函数解析：选B　∵f(x)＝sin(2x－)＝－cos2x，∴f(x)是最小正周期为π的偶函数．2．(教材习题改编)函数y＝4sinx，x∈[－π，π]的单调性是(　　)A．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数B．在上是增函数，在和上都是减函数C．在[0，π]上是增函数，在[－π，0]上是减函数D．在∪上是增函数，在上是减函数解析：选B　由函数y＝4sinx，x∈[－π，π]的图象可知，该函数在上是增函数，在和上是减函

5、数．3．函数y＝的定义域为(　　)A.B.，k∈ZC.，k∈ZD．R解析：选C　∵cosx－≥0，得cosx≥，∴2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z.4．(教材习题改编)函数f(x)＝sin，x∈R的最小正周期为________．解析：函数f(x)＝sin的最小正周期为T＝＝4π.答案：4π5．函数y＝3－2cos的最大值为________，此时x＝________.解析：函数y＝3－2cos的最大值为3＋2＝5，此时x＋＝π＋2kπ，即x＝＋2kπ(k∈Z)．答案：5　＋2kπ(k∈Z)三角函数的定义域和值域[例1]　(1)求函数y＝lg(2sinx－1

6、)＋的定义域；(2)求函数y＝2cos2x＋5sinx－4的值域．[自主解答]　(1)要使函数有意义，必须有即解得(k∈Z)，即＋2kπ≤x＜＋2kπ(k∈Z)．故所求函数的定义域为(k∈Z)．(2)y＝2cos2x＋5sinx－4＝2(1－sin2x)＋5sinx－4＝－2sin2x＋5sinx－2＝－2(sinx－)2＋.故当sinx＝1时，ymax＝1，当sinx＝－1时，ymin＝－9，故y＝2cos2x＋5sinx－4的值域为[－9,1]．———————————————————1．三角函数定义域的求法求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等

7、式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．2．三角函数值域的求法求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目：①形如y＝asinx＋bcosx＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求最值(值域)；②形如y＝asin2x＋bsinx＋c的三角函数，可先设sinx＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；③形如y＝asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c的三角函数，可先设t＝sinx±cosx，化为关于t的二次函数求值域(最值)．1．(1)求函数y＝＋的定义域；(2)设a∈R，f(x)＝cosx(asinx－cosx)＋co

8、s2满足f＝f(0)，求函数f(x)在上的最大值和最小值．解：(1)要使函数有意义则即利用数轴