北京市海淀区2006年高三第一次模拟考试数学试卷(理科)

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1、北京市海淀区2006年高三第一次模拟考试数学试卷（理科）一.选择题：本大题共8小题。每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）设全集U＝｛1，2，3，4，5｝，集合A＝｛1，3，5｝，集合B＝｛3，（）其中为真命题的是（）A.①④B.②③C.①③D.②④二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上。为_________，若点P（3，-1）为圆C的弦AB的中点，则直线AB的斜率是_________。开式中各项系数之和为___________。（13）如图所示，画中的一朵花，有五片花瓣。现有四种不同颜色的画笔可供选择，规定每

2、片花瓣都要涂色，且只涂一种颜色。若涂完的花中颜色相同的花瓣恰有三片，则不同涂法种数为___________（用数字作答）。三.解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（15）（本小题共13分）（I）求实数a；（II）求函数f(x)的最小正周期及单调增区间；图象，求g(x)的解析式。（16）（本小题共13分）一次小测验共有3道选择题和2道填空题，每答对一道题得20分，答错或不答得0分。某同学答对每道选择题的概率均为0.8，答对每道填空题的概率均为0.5，各道题答对与否互不影响。（I）求该同学恰好答对2道选择题和1道填空题的概率；（II）求该同学至多答对

3、4道题的概率；（III）若该同学已经答对了两道填空题，把他这次测验的得分记为ξ，求ξ的概率分布列及数学期望。（17）（本小题共14分）已知四棱锥P—ABCD的底面是菱形，∠BCD＝60°，PD⊥AD，点E是BC边的中点。（I）求证：AD⊥平面PDE；①求点P到平面ABCD的距离；②求二面角P—AB—C的大小。（18）（本小题共14分）（19）（本小题共12分）式；（20）（本小题共14分）顶点为B，过椭圆的右焦点F作垂直于椭圆长轴的直线交椭圆于P点。若点D满足（I）求椭圆的离心率；（II）若椭圆的长轴长等于4，Q是椭圆右准线l上异于点A的任意一点，A1、A2分别是椭圆的左、右顶点，直

4、线QA1、QA2与椭圆的另一个交点分别为M、N，求证：直线MN与x轴交于定点。【试题答案】一.选择题。（1）A解析：∴选A（2）B解析：∴选B（3）A解析：∴选A（4）A解析：∴选A（5）D解析：∴选D（6）C解析：∴③正确∴选C（7）B解析：不妨将a、b看做平面直角坐标系内的横、纵坐标x、y所以，B选项是满足条件的一个充分不必要条件。∴选B（8）A解析：∴选A二.填空题。（9）（2，0）；1解析：∴圆心为C（2，0）∵点P（3，-1）为圆C的弦AB的中点，则（10）1；1解析：（11）解析：（12）解析：（13）240解析：后再涂其余两片花瓣，因此共有（14）（3，2）；2解析：∴

5、点（3，2）为所求三.解答题。（15）解：………………1分………………3分………………4分………………6分………………8分………………10分………………13分（16）解：…………3分（II）该同学至多答对4道题的对立事件为答对5道题，而答对5道题的概率为所以该同学至少答对4道题的概率为：…………6分（III）ξ的可能取值为40，60，80，100………………7分………………8分………………9分………………10分………………11分∴ξ的概率分布列为………………13分（分布列不写出扣1分，只写出分布列没有分别写出P（ξ）的扣1分。）（17）解：（I）连结BD∵底面ABCD是菱形，∠BCD

6、＝60°∴△BDC是正三角形∵点E是BC边中点∴DE⊥BC………………2分∵AD∥BC，∴AD⊥DE∴AD⊥平面PDE………………4分（II）①∵PD⊥AD，DE⊥AD∴∠PDE为二面角P—AD—C的平面角∵二面角P—AD—C大小等于60°∴∠PDE＝60°………………6分过点P在平面PDE内作PK⊥DE于K由（I）易证AD⊥PK∴PK⊥平面ABCD即点P到平面ABCD的距离为4………………9分∴K为正三角形BDC的重心连结BK，则∠KBC＝30°又∠ABC＝120°，∴∠KBA＝90°即KB⊥AB，连结PB，则PB⊥AB∴∠PBK为二面角P—AB—C的平面角………………12分………

7、………14分（18）解：………………3分………………4分………………6分………………9分…………12分…………14分（19）解：………………1分………………3分………………4分………………5分………………6分………………7分………………8分（由知式子）∴叠加可得所有奇数项的和为：………………10分………………12分（20）解：………………2分∴D在线段AB上………………3分………………5分（II）∵椭圆的长轴长等于4设直线QA1和QA2斜率分别为k1，k2