第一章 偏微分方程定解问题

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1、第一章偏微分方程定解问题引言：在研究、探索自然科学和工程技术中，经常遇到各种微分方程。如牛顿定律------(1)波动方程------(2)热传导方程------(3)静电场位方程------(4)激波方程------(5)等等。其中(1)为一维常微分方程；(2)----(4)为三维偏微分方程；(5)为一维偏微分方程。这些数学中的微分方程均来自物理问题，有着各自的物理背景，从数量关系上反映着相应的物理规律，称为数学物理方程，简称数理方程。数学物理方程是数学与物理学的交叉分支学科。从物理上讲它是理论物理的基本工具；在数学上属于应用数学的(偏)微分方程分

2、支。本课程主要研究和讨论三类数理方程(2)，(3)，(4)的建立(导出)以及几种常用的典型的求解方法。为了下面研究和讨论的方便，先引入有关微分方程的几个基本概念(术语)。1.常，偏微分方程只含一个自变量，关于该变量的未知函数，以及未知函数对该变量的导数的微分方程为常微分方程，如(1)。含有多个自变量，关于这些变量的未知函数，以及未知函数对这些变量的偏导数的微分方程为偏微分方程，如(2)----(5)。2.阶上述(1)----(5)均可改写成如下形式------(1’)-------(2’)------(3’)------(4’)------(5’)其

3、中，x=x(t)，u=u(t,x,y,z)或u(x,y,z)，f=f(t,x,y,z)或f(x,y,z)。这些方程可归纳为如下形式=0，其中为导数的最高阶数，成为方程的阶。3.线性、非线性偏微分方程只涉及未知函数及其偏导数的线性组合(一次项)的偏微分方程称为线性偏微分方程。如(2)----(4)。含有未知函数及欺骗导数二次或二次以上乘积项的偏微方程称为非线性偏微分方程。如(5)。1.1三个典型方程的导出本课程中研究问题的方式是：先将物理问题装化为数学问题，建立数学模型；再求解数学模型；最后由所得解来分析，解释，揭示实际物理问题出现的结果。1.1.1：

4、弦的(微小)横振动(1)相关的物理规律牛顿第二定律胡克定律(2)波动方程的导出微元分析法：(x,x+dx)已知外力，均匀线密度为弦内部张力导数的基和意义：，由牛顿第二定律得到如下矢量关系式即由此可得：，即，又由小振动条件知而故最终有一维波动方程为，用同样的方法可导出：二维波动方程(如鼓膜小振动)：，三维波动方程(如声波)：。(3)说明波动方程反映了一类物理系统，如细弦、弹性杆、鼓膜、声音，乃至电磁系统中的电流、电压、电场、磁场随时间演化的共同规律。这些物理系统的状态(方程的解)随时间的变化是可逆的。而在数学上该方程属于一类典型的偏微分方程----双曲

5、型方程。1.1.2:热传导问题(1)相关的物理规律傅立叶定律(热传导)其中为沿方向的热流强度，k>0，能量转化与守恒定律(热平衡)牛顿冷却定律(热交换)，其中为边界面积，为外界温度。(2)热传导方程的导出微元分析法dV=dxdydz已知dV中dt内产生的热量为g(t,x,y,z)dVdt经面1流入dV的热量满足：，经面2流入dV的热量满足：tt+dt内沿x轴流入dV中的净热量为，同理，tt+dt内沿y轴流入dV中的净热量为，tt+dt内沿z轴流入dV中的净热量为故tt+dt内dV中增加的净热量为这些热量用来使dV内的物质在tt+dt内升温，升温所需的

6、热量为，c为物质的比热，由能量守恒定律知：即化简后可得三维热传导方程其中，。同理可得出二维、一维热传导方程为：二维(如温度分布、变化与高度无关的柱体)；一维(如侧面绝热细杆)。(3)说明热传导方程也反映了一类物理现象的共同特征。只要机理与热传导相似(有源，流等)，如气体扩散、杂质扩散、浓度扩散等，均满足该形式的方程，故热传导方程也常称为扩散方程。这类现象(方程的解)随时间的演化是不可逆的。在数学上，该方程也属于一类典型的偏微分方程----抛物型方程。1.1.3:(静电)场位方程(1)相关物理规律高斯定律(积分形式)(微分形式)法拉弟定律(积分形式)(

7、微分形式)(2)场位方程的导出若则反之，数学上可以证明：若，则必有标量函数，使。由法拉弟定律可知代入高斯定律有，化简后即得三维场位方程其中，相应的二维和一维方程分别是：和。(3)说明场位方程也反映了一类物理现象，即稳定分布现象的共同特征。这些现象是不随时间变化的(方程的解中不含时间变量)，故也常成为稳定分布方程。例如，热传导问题中可以出现单位时间内某物体内热源产生的热量恰好等于传出体外的热量，此时体内温度的分布便不随时间变化，在热传导方程中有，热传导方程自然转化为温度的稳定分布方程。在数学上，场位方程(有时称为Poisson方程)属于又一类典型的偏微

8、分方程----椭圆型方程。1.2定解问题及其适定性在完成了建立偏微分(数理)方程后，接下来的任务就是求解这些