第二型线积分中的方向问题

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1、第二型线积分中的方向问题孙淼，PB07210174在课本第230至231间关于第二型线积分中“记dt=dl称为曲线的有向弧长元素，它是个向量，大小等于dl指向曲线l的切线方向，设t=cosαi+cosβj+cosγk，并记cosαdl=dx,cosβdl=dy,cosγdl=dz,易见dx的符号与cosα的符号相同，dx的大小恰是dl在x上的投影长”当中“dx的符号”常常让人发生困惑。看例一：（该例是书上P234的例子）设质量为m的质点在重力场的作用下沿L从点A运动到点B(A点高于B点)，求重力质点所

2、作的功。解：取地面为oxy平面，z轴铅垂向上则质点在任一点M处所受的重力为p=-mgh,这里g是重力加速度，质点沿路程L从A到B时重力所做的功为=由第二型曲线中我们知道dz是从za减小到zb的，那么既然减小不该用（-dz）吗？即然而这样做并不正确，但结果的正误很容易从最后的结果中看岀来，因为大家都知道重力对从高处到低处做正功，但略微复杂一点的题就不是那么容易从结果来判断是否正确了，再看一下下面这到题：一子弹以Vo的初速度和45度的仰角自地面射出子弹在飞行时受到的空气阻力为其速度的km倍（m为子弹质量，

3、k为正常数），求上升到最高点所需时间。解法1：a=kv+g=dv/dt,所以,所以t1=解法2：（注意到正负方向，取向下为正）,t1=解法3：(把f的方向也考虑进去)a=-kv+g,所以三种方法有两个不同的答案，哪一种对呢？这里有一个小技巧来判断符号问题：“首先确定一个正方向，然后使一变量微量改变观察因变量是否符合题意”。对于解法1：认为kmv与mg同向（事实上也是）。考虑逆过程：a=kv+g初速度v=0,所以开始时刻a=g,符合题意。v增加dv，a相应增加kmdv符合题意。所以方法一正确。对于解法2

4、：a=kv+g,v从到0,开始时，v=-,a=v向上速率的增小a应当减小才对，所以该方法不对。对于解法3：a=-kv+g,v从到0,v增加dv>0,a增加(-k)dv<0符合题意。所以解法1，3正确回过头来看一下本文中的第一个例子：=dw=-mgdz(此时dz<0,因为za>zb),所以W增加-mgdz>0,符合题意。dx有正负是因牵涉到了两个方向，而例二中解法1通过逆过程，把力的方向，所走路径的方向，及规定的正方向一致，从而都是正值。但不是所有的题目都能化为单一的方向，如果不能，就要小心了，一旦一个

5、方向搞错，极有可能做错。本文就只是讲子一个很小很小的知识点，提出的也只是一个小小的技巧，然而，学习中有很多这样的细节，许许多多这样的小技巧需要我们不断的去掌握，这样才能更熟练的掌握所学的知识。细节决定成败！对于学习中的细节要多思考，多总结，在这过程中，我们的思维能力会变得更强。