2011年全国硕士研究生入学统一考试《数学三》真题

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1、2011年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷《数学三》试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1)已知当时，与是等价无穷小，则()(A)k=1,c=4(B)k=1,c=4(C)k=3,c=4(D)k=3,c=4(2)已知函数在x=0处可导，且=0，则=()(A)2(B)(C)(D)0.(3)设是数列，则下列命题正确的是()(A)若收敛，则收敛(B)若收敛，则收敛(C)若收敛，则收敛(D)若收敛，则收敛(4)设，，，则的大小关系是()(A)(

2、B)(C)(D)(5)设为3阶矩阵，将的第二列加到第一列得矩阵，再交换21的第二行与第三行得单位矩阵，记，，则=()(A)(B)(C)(D)(6)设为矩阵，是非齐次线性方程组的个线性无关的解，为任意常数，则的通解为()(A)(B)(C)(D)(7)设,为两个分布函数，其相应的概率密度与是连续函数，则必为概率密度的是()(A)(B)(C)(D)+(8)设总体X服从参数为的泊松分布，为来自该总体的简单随机样本，则对于统计量和，有()(A)>,>(B)>,<(C)<,>(D)<,<二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指

3、定位置上.(9)设，则.(10)设函数，则.21(11)曲线在点处的切线方程为.x2y10(12)曲线，直线及轴所围成的平面图形绕轴旋转所成的旋转体的体积为.(13)设二次型的秩为1，中各行元素之和为3，则在正交变换下的标准形为.(14)设二维随机变量服从正态分布，则=.三、解答题：15~23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分10分)求极限(16)(本题满分10分)21已知函数具有连续的二阶偏导数，是的极值，.求(17)(本题满分10分)求不定积分(18)(本题满分10分

4、)21证明方程恰有两个实根.(19)(本题满分10分)设函数在区间具有连续导数，，且满足,，求的表达式.21(20)(本题满分11分)设向量组，，不能由向量组,,线性表出.(I)求的值；(II)将，，用，，线性表出.21(21)(本题满分11分)为3阶实对称矩阵，的秩为2，且(I)求的所有特征值与特征向量;(II)求矩阵.(22)(本题满分11分)设随机变量与的概率分布分别为XPY1P且.(I)求二维随机变量的概率分布；21(II)求的概率分布；(III)求与的相关系数.21(23)(本题满分11分)设二维随机变量服从区域上的均匀分布，其中是

5、由与所围成的三角形区域.(I)求的概率密度；(II)求条件概率密度.212011年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷《数学三》试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1)答案：(C)解：本题涉及到的主要知识点：当时，在本题中，，故选择(C).(2)答案：(B)解：本题涉及到的主要知识点：导数的定义在本题中，21故应选(B)(3)答案：(A)解：本题涉及到的主要知识点：级数的基本性质若级数收敛，则不改变其项的次序任意加括号，并把每个括号内各项

6、的和数作为一项，这样所得到的新级数仍收敛，而且其和不变.在本题中，由于级数是级数经过加括号所构成的，由收敛级数的性质：当收敛时，也收敛，故（A）正确.(4)答案：(B)π/4解：本题涉及到的主要知识点：如果在区间上，，则在本题中，如图所示：因为，所以又因在是单调递增的函数，所以即.选（B）.(5)答案：(D)解：本题涉及到的主要知识点：21设是一个矩阵，对施行一次初等行变换，相当于在的左边乘以相应的阶初等矩阵；对施行一次初等列变换，相当于在的右边乘以相应的阶初等矩阵.在本题中，由于将的第2列加到第1列得矩阵，故即由于交换的第2行和第3行得单位

7、矩阵，故即故因此，故选(D)(6)答案：(C)解：本题涉及到的主要知识点：（1）如果，是的两个解，则是的解；（2）如元线性方程组有解，设是相应齐次方程组的基础解系，是的某个已知解，则是的通解（或全部解），其中为任意常数.在本题中，因为是的3个线性无关的解，那么，是的2个线性无关的解.从而，即显然，因此由，知（A）（B）均不正确.又，故是方程组的解.所以应选（C）.(7)答案：(D)21解：本题涉及到的主要知识点：连续型随机变量的概率密度的性质：在本题中，由于与均为连续函数，故它们的分布函数与也连续.根据概率密度的性质，应有非负，且.在四个选项

8、中，只有（D）选项满足故选（D）.(8)答案：(D)解：本题涉及到的主要知识点：（1）泊松分布数学期望，方差（2），，，（与相互独立）在本题中，由于独立同分布，且，