2003年全国硕士研究生入学统一考试《数学三》真题

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1、2003年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷《数学三》试题一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）（1）设其导函数在x=0处连续，则的取值范围是________.（2）已知曲线与x轴相切，则可以通过a表示为________.（3）设a>0，而D表示全平面，则=________.（4）设n维向量；E为n阶单位矩阵，矩阵，，其中A的逆矩阵为B，则a=________.（5）设随机变量X和Y的相关系数为0.9,若，则Y与Z的相关系数为________.（6）设总体X服从参数为2的指数分布，为来自总体

2、X的简单随机样本，则当时，依概率收敛于________.二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设f(x)为不恒等于零的奇函数，且存在，则函数第26页共26页（）(A)在x=0处左极限不存在.(B)有跳跃间断点x=0.(C)在x=0处右极限不存在.(D)有可去间断点x=0.（2）设可微函数f(x,y)在点取得极小值，则下列结论正确的是（）(A)在处的导数等于零.（B）在处的导数大于零.(C)在处的导数小于零.(D)在处的导数不存在

3、.（3）设，，，则下列命题正确的是（）(A)若条件收敛，则与都收敛.(B)若绝对收敛，则与都收敛.(C)若条件收敛，则与敛散性都不定.(D)若绝对收敛，则与敛散性都不定.（4）设三阶矩阵，若A的伴随矩阵的秩为1，则必有（）(A)a=b或a+2b=0.(B)a=b或a+2b0.(C)ab且a+2b=0.(D)ab且a+2b0.（5）设均为n维向量，下列结论不正确的是（）(A)若对于任意一组不全为零的数，都有第26页共26页，则线性无关.(B)若线性相关，则对于任意一组不全为零的数，都有(C)线性无关的充分必要条件是此向量组的秩

4、为s.(D)线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关.（6）将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：={掷第一次出现正面}，={掷第二次出现正面}，={正、反面各出现一次}，={正面出现两次}，则事件（）(A)相互独立.(B)相互独立.(C)两两独立.(D)两两独立.三、（本题满分8分）设试补充定义f(1)使得f(x)在上连续.四、（本题满分8分）第26页共26页设f(u,v)具有二阶连续偏导数，且满足，又,求五、（本题满分8分）计算二重积分其中积分区域D=第26页共26页六、（本题满分9分）求幂级数的和函数f(x)及其极值.

5、七、（本题满分9分）设F(x)=f(x)g(x),其中函数f(x),g(x)在内满足以下条件：，，且f(0)=0,(1)求F(x)所满足的一阶微分方程；(2)求出F(x)的表达式.第26页共26页八、（本题满分8分）设函数f(x)在[0，3]上连续，在（0，3）内可导，且f(0)+f(1)+f(2)=3,f(3)=1.试证必存在，使第26页共26页九、（本题满分13分）已知齐次线性方程组其中试讨论和b满足何种关系时，(1)方程组仅有零解；(2)方程组有非零解.在有非零解时，求此方程组的一个基础解系.第26页共26页十、（本题

6、满分13分）设二次型，中二次型的矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为-12.(1)求a,b的值；(2)利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵.第26页共26页十一、（本题满分13分）设随机变量X的概率密度为F(x)是X的分布函数.求随机变量Y=F(X)的分布函数.第26页共26页十二、（本题满分13分）设随机变量X与Y独立，其中X的概率分布为，而Y的概率密度为f(y)，求随机变量U=X+Y的概率密度g(u).第26页共26页2003年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷《数学三》试题答案一、填空

7、题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）（1）.【分析】当0可直接按公式求导，当x=0时要求用定义求导.解：当时，有显然当时，有，即其导函数在x=0处连续.（2）.【分析】曲线在切点的斜率为0，即，由此可确定切点的坐标应满足的条件，再根据在切点处纵坐标为零，即可找到与a的关系.解：由题设，在切点处有，有又在此点y坐标为0，于是有,故（3）.【分析】本题积分区域为全平面，但只有当时，被积函数才不为零，因此实际上只需在满足此不等式的区域内积分即可.解：=第26页共26页=（4）a=-1.【分析】这里为n阶

8、矩阵，而为数，直接通过进行计算并注意利用乘法的结合律即可.解：由题设，有====,于是有，即，解得由于A<0,故a=-1.（5）0.9.【分析】利用相关系数的计算公式即可.解：因为==E(XY)–E(X)E(Y)=cov(X,Y),且于是有cov(Y,Z)==【评注】注意以下运算公式：，（