计算方法重点公式

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1、第一章非线性方程和方程组的数值解法1）二分法的基本原理，误差：2）迭代法收敛阶：，若则要求3）单点迭代收敛定理：定理一：若当时，且，，则迭代格式收敛于唯一的根；定理二：设满足：①时，，②则对任意初值迭代收敛，且：定理三：设在的邻域内具有连续的一阶导数，且，则迭代格式具有局部收敛性；定理四：假设在根的邻域内充分可导，则迭代格式是P阶收敛的ó（Taylor展开证明）4）Newton迭代法：，平方收敛5）Newton迭代法收敛定理：设在有根区间上有二阶导数，且满足：①：；②：；③：④：初值使得；则Newton迭代法收敛于根。6

2、）Newton迭代法求重根（收敛仍为线性收敛），对Newton法进行修改①：已知根的重数r(Newton下山法)，（平方收敛）②：未知根的重数：，为的重根，则为的单根。6）截弦法单点：双点（快速）：7）迭代加速收敛方法(艾特金（Aitkem)加速)：当不动点迭代函数在的某个邻域内具有二阶导数，平方收敛第二章线性代数方程组数值解法1）向量范数：①：非负性：，且的充要条件是；②：齐次性：③：三角不等式：1范数：2范数：范数：p范数：2）矩阵范数：①：非负性：，且的充要条件是；②：齐次性：③：三角不等式：④：乘法不等式：F范数

3、：1范数：，列和最大范数：，行和最大2范数：，其中，为的特征值，3）Gauss消元法（上三角阵）：；列选主元消元法：在消元之前进行行变换，将该列最大元素换置对角线主元位置；（可用于求逆矩阵，详见杨娟ppt）4）三角分解法（此部分难以简单说明，具体见ppt）：①：Doolittle分解法：A=LU，L单位下三角阵，U上三角阵②：Crout分解法：A=LU，L下三角阵，U单位上三角阵③：追赶法：Crout分解法解三对角方程8）Jacobi迭代：9）Gauss-Seidel迭代：第三章插值法与数值逼近1）Lagrange插值：

4、，余项：2）Newton插值：差商表余项3）Hermite插值（待定系数法）其中余项：4）分段线性插值：插值基函数：余项：分段余项5）离散函数的最佳平方逼近（曲线的最小二乘拟合）：法方程其中第四章数值积分1）代数精度的概念及应用：对r次多项式的精确成立，以及代入法求解系数。2）Lagrange插值代入Lagrange插值基函数，其中误差：定理：数值积分公式具至少有n次代数精度ó其是差值型的3）等距节点的Newton-Cotes公式将拉格朗日差值积分公式中的差值节点即可，其中；梯形公式辛甫生(Simpson)公式柯特斯(C

5、otes)公式一阶【2次代数精度】令f(x)=x2二阶【3次代数精度】令f(x)=x4四阶【5次代数精度】4）复化的N-C公式复化梯形公式复化辛甫生公式复化柯特斯公式复化辛甫生公式精度优于复化梯形公式5）Romberg积分法梯形递推公式加权平均公式：6）求积节点为n+1的机械求积公式的代数精度<=2n+1；第六章常微分方程的数值解法（差分法）1）离散化方法：Taylor展开、差商代替求导、数值积分2）Euler公式：欧拉公式简单；精度低向前差商近似导数欧拉法具有1阶精度改进的欧拉公式此法亦称为预测-校正法。可以证明该算法

6、具有2阶精度，同时可以看到它是个单步递推格式，比隐式公式的迭代求解过程简单。3）四阶经典Runge-Kuta法