限时规范检测(五十七) 圆锥曲线的综合问题

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1、限时规范检测(五十七)　圆锥曲线的综合问题(时间：45分钟　分值：57分)一、选择题(共5个小题，每题5分)1．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的焦点分别为F1、F2，b＝4，离心率为.过F1的直线交椭圆于A、B两点，则△ABF2的周长为(　　)A．10　　　　　　　　　　　B．12C．16D．202．设F1、F2为椭圆＋y2＝1的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P、Q两点，当四边形PF1QF2的面积最大时，·的值等于(　　)A．0B．2C．4D．－23．过椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B，且点

2、B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若b>0)上一点A关于原点的对称点为B，F为其右焦点，若AF⊥BF，∠ABF＝α，且α∈，则该椭圆离心率的取值范围为(　　)A

3、.B.C.D.二、填空题(共2个小题，每题4分)6．(2012·北京高考)在直角坐标系xOy中，直线l过抛物线y2＝4x的焦点F，且与该抛物线相交于A，B两点，其中点A在x轴上方．若直线l的倾斜角为60°，则△OAF的面积为________．7．直线l：y＝k(x－)与曲线x2－y2＝1(x>0)相交于两点，则直线l的倾斜角的取值范围为________．三、解答题(共2个小题，每题12分)8．(2012·厦门适应性训练)某公园内有一椭圆形景观水池，经测量知，椭圆长轴长为20米，短轴长为16米．现以椭圆长轴所在直线为x轴，短轴所在直线为y轴，建

4、立平面直角坐标系，如图所示．(1)为增加景观效果，拟在水池内选定两点安装水雾喷射口，要求椭圆上各点到这两点距离之和都相等，请指出水雾喷射口的位置(用坐标表示)，并求椭圆的方程；(2)为增强水池的观赏性，拟划出一个以椭圆的长轴顶点A、短轴顶点B及椭圆上某点M构成的三角形区域进行夜景灯光布置，请确定点M的位置，使此三角形区域面积最大．9．(2012·福建信息卷)已知平面上的动点P(x，y)及两定点A(－2,0)，B(2,0)，直线PA，PB的斜率分别是k1，k2，且k1·k2＝－.(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)设直线l：y＝kx＋m与曲线C

5、交于不同的两点M，N.①若OM⊥ON(O为坐标原点)，证明点O到直线l的距离为定值，并求出这个定值；②若直线BM，BN的斜率都存在并满足kBM·kBN＝－，证明直线l过定点，并求出这个定点．答案限时规范检测(五十七)1．解析：选D　如图，由椭圆的定义知△ABF2的周长为4a，又e＝＝，即c＝a，所以a2－c2＝a2＝b2＝16，得a＝5.△ABF2的周长为20.　2.解析：选D　易知当P、Q分别在椭圆短轴端点时，四边形PF1QF2的面积最大．此时，F1(－，0)，F2(，0)，P(0,1)，所以＝(－，－1)，＝(，－1)．所以·＝－2.　3

6、.解析：选C　由题意，B，所以k＝＝＝1－e，所以<1－e<，得

7、OA

8、＝

9、OB

10、＝

11、OF

12、＝c，如图，设椭圆的另一个焦点为F′，则

13、AF′

14、＝

15、BF

16、，所以sinα＋cosα＝＋＝＝.e＝＝＝，由α∈得α＋∈，sin∈.所以e∈.6.解析：直线l的方程为y＝(x－1)，即x＝y＋1，代入抛物线方程得y2－y－4＝0，解得yA＝＝2(yB＜0，舍去)，故△OAF的面积为×1×2＝.

17、答案：　7.解析：直线l过定点A(，0)与双曲线x2－y2＝1的右支相交于两点，当l与渐近线平行时，有且仅有一个交点，此时渐近线的倾斜角分别为和，由于直线l的斜率存在，所以倾斜角不能为，故倾斜角α的取值范围是.答案：8．解：(1)设椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，由题知，2a＝20,2b＝16，所以a＝10，b＝8，c＝＝6，由椭圆定义知，水雾喷射口的位置应选择在椭圆的两个焦点处，其坐标为(6,0)，(－6,0)，椭圆的方程为＋＝1.(2)由题知A(10,0)，B(0,8)．记点M到直线AB的距离为d，过点M与AB平行的直线为l，∵

18、AB

19、

20、＝＝2，∴S△ABM＝

21、AB

22、·d＝d，要使△ABM的面积最大，则只须d最大，即l与AB这两平行线间的距离最大，∴直线l与椭圆相切于第三象限的点M，此即为所求的点．