数学奥林匹克竞赛训练题：平面三解(2)求值和作图

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1、中华数学竞赛网www.100math.com官方总站：圣才学习网www.100xuexi.com数学奥林匹克竞赛训练题：平面三解（2）求值和作图D1－001已知tanα及tanβ为x2＋px＋q＝0的二根.求sin2（α＋β）＋psin（α＋β）cos（α＋β）＋qcos2（α＋β）之值.【题说】1957年北京市赛高二题2.【解】tanα＋tanβ＝－p，tanα·tanβ＝q故所求之值为当q＝1时，tanα·tanβ＝1即sinαsinβ＝cosαcosβ，所以cos（α＋β）＝0，从而sin2（α＋β）＝1，原式＝1.D1－002已知s

2、inα＋sinβ＝p，cosα＋cosβ＝q，求sin（α＋β）和cos（α＋β）的值.【题说】1963年北京市赛高二一试题2.【解】由已知得当q≠0时，两式相除得从而由万能公式得在q＝0，p≠0时，上式仍然成立.在p＝q＝0时，α－β＝（2n＋1）π，n∈Z，则sin（α＋β）＝－sin2α，cos（α＋β）＝－cos2α中华数学竞赛网www.100math.com官方总站：圣才学习网www.100xuexi.com中华数学竞赛网www.100math.com官方总站：圣才学习网www.100xuexi.comD1－003不用查表，求co

3、s273°＋cos247°＋cos73°cos47°的值.【题说】1963年成都市赛高三二试题2.【解】原式＝（cos73°＋cos47°）2－cos73°cos47°D1－004用cos5°表示cos10°＋cos20°＋cos30°＋…＋cos80°.【题说】1964年江苏省赛高题二、三题3.【解】原式＝（cos10°＋cos20°）＋（cos70°＋cos80°）＋（cos30°＋cos40°）＋（cos50°＋cos60°）D1－005已知一面国旗上的大五角星的一边长为1尺，求这五角【题说】1978年陕西省赛二试题6.中华数学竞赛网

4、www.100math.com官方总站：圣才学习网www.100xuexi.com中华数学竞赛网www.100math.com官方总站：圣才学习网www.100xuexi.comD1－007求函数y＝asin2x＋bsinxcosx＋ccos2x的极值.【题说】1979年山东省赛二试题1.当b2＋（c－a）2≠0时，当b＝0，c＝a时，y为常数a，上面的结论仍然成立.D1－008求函数的最大值和最小值.【题说】1979年贵州省赛二试题3.【解】函数即化为关于sinα的二次方程（2y－1）sin2α－sinα＋（2y－1）＝0由判别式（－1）

5、2－4（2y－1）2≥0，解得中华数学竞赛网www.100math.com官方总站：圣才学习网www.100xuexi.com中华数学竞赛网www.100math.com官方总站：圣才学习网www.100xuexi.comD1－011求10cot（arccot3＋arccot7＋arccot13＋arccot21）的值.【题说】第二届（1984年）美国数学邀请赛题13.【解】设A＝arccot3，B＝arccot7C＝arccot13，D＝arccot21E＝A＋B，F＝C＋D则因此10cot（E＋F）＝15D1－012设a、b、c是一个三

6、角形的三条边，α、β、γ分别是【题说】第七届（1989年）美国数学邀请赛题10.D1－013求常数c，使得【题说】第十六届（1990年）全俄数学奥林匹克十一年级题1.【解】设f（x）是奇函数，则中华数学竞赛网www.100math.com官方总站：圣才学习网www.100xuexi.com中华数学竞赛网www.100math.com官方总站：圣才学习网www.100xuexi.comf（0）＝arctanα＋c＝0，c＝－arctanα反之，因为是奇函数.＋cotx＝m/n，这里m/n是既约分数，求m＋n.【题说】第九届（1991年）美国数

7、学邀请赛题9.【解】由sec2x－tan2x＝1（1）及已知secx＋tanx＝22/7（2）得secx－tanx＝7/22（3）（2）＋（3）得2secx＝535/154（2）－（3）得2tanx＝435/154于是得cscx＝533/435，cotx＝308/435因此cscx＋cotx＝29/15从而m＋n＝29＋15＝44D1－015（1）设n是一个大于3的素数.求的值；（2）设n是大于3的自然数.求的值.【题说】1994年上海市高三数学竞赛二试题3.中华数学竞赛网www.100math.com官方总站：圣才学习网www.100xu

8、exi.com中华数学竞赛网www.100math.com官方总站：圣才学习网www.100xuexi.com因为n为大于3的素数，所以，（－1）n＋1＝1，且3，3×2，…，3