数学奥林匹克竞赛训练题：平面三解(1)

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1、中华数学竞赛网www.100math.com官方总站：圣才学习网www.100xuexi.com数学奥林匹克竞赛训练题：平面三解（1）三角恒等式D2－001如果凸四边形ABCD中的角A、B、C、D没有一个是直角，试证明：【题说】1951年～1952年波兰数学奥林匹克一试题1.【证】因为A＋B＋C＋D＝360°，当A＋B≠90°，A＋B≠270°时，得tan（A＋B）＋tan（C＋D）＝0两边除以tanAtanBtanCtanD就得到所要的结果.当A＋B＝90°时，C＋D＝270°，显然有0°＜A＜90°及90

2、°＜C＜180°于是90°＜A＋C＜270°tan（A＋C）tan（B＋D）＝0同样可得结论.【注】若四边形ABCD是凹的，结论成立.推导与上面相同，除非任意两个角的和均为90°或270°.由于凹四边形必有一个角大于180°，不妨设A＞180°，则在例外情况，B＋C＝C＋D＝D＋B＝90°，从而B＝C＝D＝45°，A＝225°.结论显然.D2－002证明：如果n是大于1的自然数，那么【题说】1957年～1958年波兰数学奥林匹克三试题2.这里给出向量证法.中华数学竞赛网www.100math.com官方总站：

3、圣才学习网www.100xuexi.com中华数学竞赛网www.100math.com官方总站：圣才学习网www.100xuexi.com【证】在直角坐标系XOY中，考察n个单位矢量1，2，…，设将n个矢量i绕点O旋转2π/n（因n＞1，所以2π/2＜2π），则和也旋转了2π/n.旋转后的矢量与原来的矢量组没有任何差别（因为1变成2，2变成3，…，n变成1），因此矢量D2－003设A＋B＋C＝180°，求证：sin2A＋sin2B＋sin2C－2cosAcosBcosC＝2【题说】1962年北京市赛高二一试题

4、3.【证】cos2A＋cos2B＋cos2C＝1－2cosAcosBcosC所以sin2A＋sin2B＋sin2C－2cosAcosBcosC＝2D2－004设A＋B＋C＝π，n为奇数.求证：【题说】1962年成都市赛高三一试题2.中华数学竞赛网www.100math.com官方总站：圣才学习网www.100xuexi.com中华数学竞赛网www.100math.com官方总站：圣才学习网www.100xuexi.com所以sinnA＋sinnB＋sinnCD2－005设sinx＋cosx＝1，求证：sinn

5、x＋cosnx＝1【题说】1963年成都市赛高二一试题3.【证】将sinx＋cosx＝1两边平方整理，得2sinxcosx＝0若sinx＝0则cosx＝1，sinnx＋cosnx＝1.若cosx＝0，则sinx＝1，sinnx＋cosnx＝1.D2－006设△ABC的三内角A、B、C成等比数列，公比q＝3.求证：【题说】1963年武汉市赛高三二试题2.【证】设三内角为A，B＝3A，C＝9A，则A＋B＋C＝13A＝π，原式左端＝cos3Acos9A＋cos9AcosA＋cosAcos3A中华数学竞赛网www.1

6、00math.com官方总站：圣才学习网www.100xuexi.com中华数学竞赛网www.100math.com官方总站：圣才学习网www.100xuexi.comD2-008在线段AD上取二点B和C，使AB=BC=CD.以Bc为直径作圆，在圆周上任取一点P，使P不是B和C，再假设∠APB=【题说】1964年江苏省赛高二题4.【证】如图，延长PB、PC分别与以AB、CD为直径的两圆交于E、F，并连AE，DF.由于AB=BC=CD，∠ABE=∠CBP，∠BCP=DCF，故Rt△AEB≌Rt△BPC≌Rt△C

7、FD.所以PB=BE=DF，AE=PC=CF，从而有D2-010设a1，a2，…an为实常数，x为实为数，且证明：从f（x1）=f（x2）=0总可推得x2-x1=mπ，其中m是一个整数.【题说】第十一届（1969年）国际数学奥林匹克题2.本题由匈牙利提供.x2-x1=mπ（m、k∈Z）D2-011设A、B、C为同时满足sinA+sinB+sinC=0，cosA+cosB+cosC=0的任意三个角，求证：cos2A+cos2B+cos2C为定值.【题说】1978年上海市赛一试题5.【证】eiA+eiB+eiC中

8、华数学竞赛网www.100math.com官方总站：圣才学习网www.100xuexi.com中华数学竞赛网www.100math.com官方总站：圣才学习网www.100xuexi.com=（cosA+cosB+cosC）+i（sinA+sinB+sinC）=0所以向量eiA、eiB、eiC构成正三角形，不妨设D2-012证明：【题说】1978年重庆市赛一试题2.2.因为A+B+C=180°，所以