2012届高考数学导数极限复习题3

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1、第十三章第二讲选修2时间：60分钟　满分：100分一、选择题(8×5＝40分)1．函数f(x)＝x3－3x2＋1是减函数的区间为(　　)A．(2，＋∞)　　　　　B．(－∞，2)C．(－∞，0)D．(0,2)答案：D解析：由f′(x)＝3x2－6x＜0得：0＜x＜2.∴单调递减区间为(0,2)．2．函数f(x)＝x3＋ax＋b在区间(－1,1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，则(　　)A．a＝1，b＝1B．a＝1，b∈RC．a＝－3，b＝3D．a＝－3，b∈R答案：D解析：f(x)＝x3＋ax＋b，f′(x)＝3x2＋a，∵f(x)在(－1,1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增

2、函数，∴f′(1)＝3＋a＝0，∴a＝－3，b∈R.3．函数y＝ax3＋x＋1有极值的充要条件是(　　)A．a≤0B．a＜0C．a≥0D．a＞0答案：B解析：对于三次函数y＝ax3＋x＋1有极值，最多有两个，而且是3ax2＋1＝0的解，不可能只有一个极值点，因此三次函数y＝ax3＋x＋1有极值的充要条件是3ax2＋1＝0有两个不等的解，即Δ＝－12a＞0，a＜0.故选B.4．(2011·原创题)函数f(x)＝x3－ax2－bx＋a2在x＝1时有极小值10，则a、b的值为(　　)A．a＝3，b＝－3或a＝－4，b＝11B．a＝－4，b＝1或a＝－4，b＝11C．a＝－1，b＝5D．以上

3、都不对答案：A解析：∵f′(x)＝3x2－2ax－b.∴f′(1)＝3－2a－b＝0，①f(1)＝a2－a－b＋1＝10，②解①②组成的方程组得：或.故选A.5．函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[0,3]上的最大值和最小值分别是(　　)A．5，－15　　　　　　　B．5,4C．－4，－15D．5，－16答案：A解析：∵y′＝6x2－6x－12＝6(x－2)(x＋1)，令y′＝0，得x＝2或x＝－1(舍)．∵f(0)＝5，f(2)＝－15，f(3)＝－4，∴ymax＝5，ymin＝－15，故选A.6．(2009·南昌市高三年级调研测试卷)下面四图都是在同一坐标系中某三次函数及其导函

4、数的图象，其中一定正确的序号是(　　)A．①②　　　　　　　B．③④C．①③D．①④答案：D解析：依题意得该函数的导函数必是二次函数，因此其导函数的图象是抛物线，再结合导数的符号若为正，则相应函数在对应的区间上是增函数；导数的符号若为负，则相应函数在对应的区间上是减函数．由各选项逐一判断可知，选D.7．已知实数a，b，c，d成等比数列，且曲线y＝3x－x3的极大值点坐标为(b，c)，则ad等于(　　)A．2B．1C．－1D．－2答案：A解析：∵y′＝3－3x2，令y′＝0，得x＝±1.可判断函数y＝3x－x3在x＝1处取得极大值，因此，极大值点的坐标为(1,2)，即b＝1，c＝2.又

5、ad＝bc，所以ad＝2.8．(2009·浙江嘉兴一模)如下图所示图象中有一个是函数f(x)＝x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R，a≠0)的导数f′(x)的图象，则f(－1)＝(　　)A.B．－C.D．－或答案：B解析：f′(x)＝x2＋2ax＋a2－1＝(x＋a)2－1.因为a≠0，所以导函数的对称轴不是y轴，且开口向上，故原题图中第三个图象为导数f′(x)的图象，则f′(0)＝0可得a＝±1.又因为对称轴x＝－a＞0，所以a＝－1.所以f(－1)＝－.二、填空题(4×5＝20分)9．已知函数y＝x3＋ax2＋bx＋27在x＝－1处有极大值，在x＝3处有极小值，则a＝____

6、____，b＝________.答案：－3　－9解析：∵y′＝3x2＋2ax＋b，方程y′＝0有根－1及3，由韦达定理应有－1＋3＝－，a＝－3及－3＝，b＝－9，经检验，此结果符合题意．10．已知函数f(x)＝x3－12x＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M、m，则M－m＝__________.答案：32解析：∵f′(x)＝3x2－12＝3(x2－4)＝3(x＋2)(x－2)，∴x＝±2为f(x)的两个极值点，f(2)＝－8，f(－2)＝24，f(3)＝－1，f(－3)＝17，∴M＝24，m＝－8.∴M－m＝32.11．(2009·江苏，3)函数f(x)＝x3－15x2

7、－33x＋6的单调减区间为________．答案：(－1,11)解析：f′(x)＝3x2－30x－33＝3(x2－10x－11)＝3(x＋1)(x－11)＜0，解得：－1＜x＜11，故减区间为(－1,11)．12．已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx，其导函数y＝f′(x)的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示．则下列说法中不正确的编号是__________．(写出所有不正确说法的编号)(1)当x＝时函数取得极小值；(2)f(x)有两个极值点；(3)