第 4 章多自由度体系的振动分析

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1、第4章多自由度体系的振动分析4-1多自由度体系自由振动多自由度结构体系运动方程的一般形式：（2-15a）（2-15b）柔度矩阵表示：刚度矩阵表示：无阻尼多自由度结构体系自由振动方程：无阻尼多自由度结构体系运动方程：（4-1）（4-2）（4-3）（4-4）质量矩阵刚度矩阵阻尼矩阵柔度矩阵位移向量等效荷载向量荷载位移向量速度向量加速度向量4.1.1多自由度体系的振动频率分析（刚度法）无阻尼多自由度结构体系自由振动方程：（4-3）假设无阻尼多自由度结构体系自由振动是简谐振动，(4-3)式的特解取如下形式：（4-5）其中：ji，

2、w，a为未知的待定系数。按自由度序号排列成的位移向量可以写成：其中：j为位移的幅值向量：即所有质点都按同一频率、同一相位作简谐振动，但振幅不同！单自由度体系无阻尼自由振动的解为：带入式中的第一个方程：无阻尼多自由度结构体系自由振动方程：（4-3）（4-5）展开此式：已设第i个运动自由度方向的位移为：消去式中的公因子sin(wt+a)：同理可得到其它所有方程的情况：称为频率方程或特征方程。将频率方程展开，可得到一个关于w2的n次代数方程。（4-9）（4-8）从频率方程可解得n个正实根；开方得到各阶频率，记作：如果方程存在非

3、零解，则系数行列式必为零，即：振型方程：频率谱：w1

4、两个质量的位移y1、y2；刚度系数：频率公式：已知：立柱不计质量，EI=6.0×106N·m2,m1=m2=5000kg,l=5m。刚度系数：频率公式：计算：解得：无阻尼多自由度结构体系自由振动方程：小结：多自由度体系的振动频率分析（刚度法）按自由度序号排列成的位移向量可以假设成：其中：j为位移的幅值向量：（4-3）（4-8）代入运动方程中，整理得到振型方程：（4-9）将频率方程展开，可得到关于w2的n次代数方程。从频率方程可解得n个正实根；开方得到各阶频率：频率方程：（4-3）自由振动方程：振型方程：（4-8）Next

5、step?求j——振型（Modeshapes）。4.1.2多自由度体系的振型分析（刚度法）无阻尼多自由度结构体系自由振动方程：（4-3）和各阶频率w1、w2、…、wn。（4-8）已求得振型方程：将第i阶频率w1代入振型方程：（4-15）第i个振型方程：可求得其位移幅值向量为n个自由度体系——可得到n个线性无关的位移幅值向量：∴第i个振型方程中的n个方程中只有n-1个是独立的！——无法得到j1i、j2i、…、jni的确定值，但可以确定各质点振幅之间的相对比值：——振型的幅值是任意的，但形状是惟一的。∵j称为振型矩阵；ji称

6、为对应于第i阶频率wi的主振型，简称第i阶振型；为了描述振型的形状，进行规格化处理；振型规格化处理方式很多，原则：保持形状不变！最简单可取ji的第一个元素j1i=1；振型方程：（4-15）按j1i=1进行振型规格化：得到按j1i=1规格化的振型：（4-19）（4-18）对于有n个自由度的体系，可以得到n个线性无关的主振型：规格化的主振型矩阵：（4-19）无阻尼多自由度结构体系自由振动方程：（4-3）第i阶振型的特解：用规格化振型表示成：这样的特解有n个！振型的物理意义自由度=2时，振型方程（4-15）成为：（4-21）展

7、开第i个方程得：其中wi为已知，解得：对应wi的振型：（4-22）（4-23）则标准化振型：即：（4-24）（4-25）振型还有其它标准化形式！[例4-2]求解图示双层刚架的振型。解：由[例4-1]已解得：振型公式：EI=6.0×106N·m2,m1=m2=5000kg,l=5m。解得：物理意义：4.1.3多自由度体系的振动频率分析（柔度法）无阻尼多自由度结构体系柔度法自由振动方程：（4-4）假设无阻尼多自由度结构体系自由振动是简谐振动：引入单位矩阵I，特征值l=1/w2:（4-26）得振型方程：振型方程成为：代入（4-

8、4）得：（4-27）振型方程：（4-27）振型方程有非零解的条件：（4-28）此式称为特征方程。将特征方程展开，可得到一个关于l的n次代数方程。从频率方程可解得n个正实根li；1/li开方得到各阶频率wi：4.1.4多自由度体系的振型分析（柔度法）将第i个特征值li代入振型方程：（4-27）（4-29）解上式可求出振