危机突发事件的社会心理预警研究

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1、★精品文档★数学竞赛平面几何讲座5讲(第3讲点共线、线共点)第三讲点共线、线共点在本小节中包括点共线、线共点的一般证明方法及梅涅劳斯定理、塞瓦定理的应用。1.点共线的证明点共线的通常证明方法是：通过邻补角关系证明三点共线；证明两点的连线必过第三点；证明三点组成的三角形面积为零等。n(n≥4)点共线可转化为三点共线。例1如图，设线段AB的中点为c，以Ac和cB为对角线作平行四边形AEcD，BFcG。又作平行四边形cFHD，cGE。求证：H，c，三点共线。证连A，DG，HB。由题意，ADEcG，知四边形AGD是平行四边形，于是ADG。同样可证AHB。四边形AHB是平行四边形，

2、其对角线AB，H互相平分。而c是AB中点，线段H过c点，故，c，H三点共线。例2如图所示，菱形ABcD中，∠A=120°，o为△ABc外接圆，为其上一点，连接c交AB于E，A交cB延长线于F。求证：D，E，F三点共线。证如图，连Ac，DF，DE。因为在o上，2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创13/13★精品文档★则∠Ac=60°=∠ABc=∠AcB，有△Ac∽△AcF，得。又因为∠Ac=BAc，所以△Ac∽△EAc，得。所以，又∠BAD=∠BcD=120°，知△cFD∽△ADE。所以∠ADE=∠DFB。因为AD∥Bc，所以∠ADF=∠DFB=∠AD

3、E，于是F，E，D三点共线。例3四边形ABcD内接于圆，其边AB与Dc的延长线交于点P，AD与Bc的延长线交于点Q。由Q作该圆的两条切线QE和QF，切点分别为E，F。求证：P，E，F三点共线。证如图。连接PQ，并在PQ上取一点，使得B，c，，P四点共圆，连c，PF。设PF与圆的另一交点为E’，并作QG丄PF，垂足为G。易如QE2=Q•QP=Qc•QB①∠Pc=∠ABc=∠PDQ。从而c，D，Q，四点共圆，于是P•PQ=Pc•PD②由①，②得P•PQ+Q•PQ=Pc•PD+Qc•QB，即PQ2=Qc•QB+Pc•PD。2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原

4、创13/13★精品文档★易知PD•Pc=PE’•PF，又QF2=Qc•QB，有PE’•PF+QF2=PD•Pc+Qc•AB=PQ2，即PE’•PF=PQ2-QF2。又PQ2－QF2=PG2－GF2=(PG+GF)•(PG－GF)=PF•(PG－GF)，从而PE’=PG－GF=PG－GE’，即GF=GE’，故E’与E重合。所以P，E，F三点共线。例4以圆o外一点P，引圆的两条切线PA，PB，A，B为切点。割线PcD交圆o于c，D。又由B作cD的平行线交圆o于E。若F为cD中点，求证：A，F，E三点共线。证如图，连AF，EF，oA，oB，oP，BF，oF，延长Fc交BE于G。

5、易如oA丄AP，oB丄BP，oF丄cP，所以P，A，F，o，B五点共圆，有∠AFP=∠AoP=∠PoB=∠PFB。又因cD∥BE，所以有∠PFB=∠FBE，∠EFD=∠FEB，而FoG为BE的垂直平分线，故EF=FB，∠FEB=∠EBF，所以∠AFP=∠EFD，A，F，E三点共线。2.线共点的证明2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创13/13★精品文档★证明线共点可用有关定理(如三角形的3条高线交于一点)，或证明第3条直线通过另外两条直线的交点，也可转化成点共线的问题给予证明。例5以△ABc的两边AB，Ac向外作正方形ABDE，AcFG。△ABc的高

6、为AH。求证：AH，BF，cD交于一点。证如图。延长HA到，使A=Bc。连c，B。设c与BF交于点。在△Ac和△BcF中，Ac=cF，A=Bc，∠Ac+∠HAc=180°，∠HAc+∠HcA=90°，并且∠BcF=90°+∠HcA，因此∠BcF+∠HAc=180°∠Ac=∠BcF。从而△Ac≌△BcF，∠Ac=∠cFB。所以∠F=∠cF+∠Fc=∠cF+∠cF=90°，即BF丄c。同理cD丄B。AH，BF，cD为△Bc的3条高线，故AH，BF，cD三线交于一点。例6设P为△ABc内一点，∠APB－∠AcB=∠APc－∠ABc。又设D，E分别是△APB及△2016全新精品资

7、料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创13/13★精品文档★APc的内心。证明：AP，BD，cE交于一点。证如图，过P向三边作垂线，垂足分别为R，S，T。连RS，ST，RT，设BD交AP于，cE交AP于N。易知P，R，A，S；P，T，B，R；P，S，c，T分别四点共圆，则∠APB－∠AcB=∠PAc+∠PBc=∠PRS+∠PRT=∠SRT。同理，∠APc－∠ABc=∠RST，由条件知∠SRT=∠RST，所以RT=ST。又RT=PBsinB，ST=Pcsinc，所以PBsinB=Pcsinc，那么。由角平分线定理知。故，N重合