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1、立体几何几个难点问题的突破华南师大附中周建锋立体几何是一门研究空间形式和数量关系的科学，我们有一些处理立体几何问题的常用方法，但是在一些方法的运用中，还存在着一些学生很难把握的难点，比如：用判定定理证明线面平行时如何选取平面内的那条直线？用判定定理证明面面垂直时，如何选取垂直于平面的那条直线？用向量法求二面角时，如何判定向量的夹角与二面角相等还是互补？等等．这些难点成为学生解决此类问题的瓶颈．作为教师来讲，如果能在这些方面做一些工作，帮助学生解决好这些问题，在教学效果上将起到事半功倍的作用．以下本人就立体几何中几个问题的探讨，和各位同行交流一下心得
2、．一、立体几何中的“逆向思维”我们在用判定定理证明线面平行时有三个要素：两线一面．平面外一条直线，平面内一条直线，有时平面内那条直线没有给出，需要自己去选取．很多学生在选取这条直线时会很困难，我们不妨用逆向思维思考一下：要证，如果成立，由线面平行的性质定理，如果过直线a作一个平面，与平面a交于直线b，则必有a∥b，直线b正是我们要找的直线，问题就得到解决．那如何恰当地过直线a作平面与平面a相交呢？在人教A版必修2教材第二章中有一道思考题可以给我们启示，这道题是这样的：教室里有一条平行于地面的灯管，如何在地面上找一条直线，使得这条直线与灯管平行？有代
3、表性的做法有两个：一是在灯管两端用细绳吊着物体（有点重量），与地面接触的两点连接起来，这条直线就是要找的直线；二是在天花板上固定一点，从这一点引出两条细绳，分别过灯管的两端，与地面接触的两点连接起来，这条直线也正是要找的直线．这两种做法实际上体现了两个确定平面的方法，两条平行线确定一个平面和直线外一点与直线确定一个平面．下面举例说明一下：例1如图1，两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB，且AM=FN，求证：MN∥平面BCE。证法一：如图2，分别过M作AB的平行线，交BC于点G，过N作AB的平行线，交BE于点H，连
4、结GH．∴=,=.11由已知，AM=FN，而AC=FB，则MC=NB，因而=，∴MG=NH，_G_N_M_F_E_D_C_B_A图3∴四边形MNHG是平行四边形，∴MN∥GH．又∵MNË平面BCE，GHÌ平面BCE，∴MN∥平面BCE．证法二：如图3，连结AN，并延长AN，与BE的延长线交于点G，连结CG．∵AF∥BG，∴=.由已知易得MC=NB，∴=,∴=,∴MN∥CG.又∵MNË平面BCE，CGÌ平面BCE，∴MN∥平面BCE．除了线面平行外，在用判定定理证明面面垂直的时候，首先要找出垂直于其中一个平面的直线，而另一个平面过这条直线．如果这条直
5、线没有在图中标出，就需要我们去把它找出来，这也是一个难点．这时也可以用逆向思维分析一下，我们有这样一个定理：如果两个平面都垂直于第三个平面，而这两个平面又相交，则交线必垂直于第三个平面．借用这个定理，如果再找出一个平面和其中的一个平面垂直，与另一个平面相交，那么交线正是需要的直线．例2如图4，正三棱柱ABC-A1B1C1中，M是BB1的中点，求证：平面AMC1⊥平面ACC1A1．分析：面面垂直判定定理中的那条直线在图中并不明显，但如果观察到取AC、A1C1中点D、D1，则平面BDD1B1⊥平面ACC1A1，那么平面BDD1B1与平面AMC1的交线M
6、N必是垂直于平面ACC1A1的直线，找到了这条直线，剩下的证明就比较容易了．详细的证明在这里就不赘述了．二、平面法向量的“另类”算法在空间平面法向量的算法中，普遍采用的算法是设，它和平面内的两个不共线的向量垂直，数量积为0，建立两个关于x,y,z的方程，再对其中一个变量根据需要取特殊值，即可得到法向量．还有一种求法向量的办法也比较简便，先来看一个引理：11若平面ABC与空间直角坐标系x轴、y轴、z轴的交点分别为A(a,0,0)、B(0,b,0)、C(0,0,c)，定义三点分别在x轴、y轴、z轴上的坐标值xA=a,yB=b,zC=c（a,b,c均不为
7、0），则平面ABC的法向量为．参数l的值可根据实际需要选取．证明：=(-a,b,0),=(-a,0,c),∴,∴是平面ABC的法向量．这种方法非常简便，但要注意几个问题：（1）若平面和某个坐标轴平行，则可看作是平面和该坐标轴交点的坐标值为¥，法向量对应于该轴的坐标为0．比如若和x轴平行（交点坐标值为¥），和y轴、z轴交点坐标值分别为b、c，则平面法向量为；若平面和x,y轴平行，和z轴交点的坐标值为c，则平面法向量为．（2）若平面过坐标原点O，则可适当平移平面．例3（07全国Ⅱ•理•19题）如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD
8、⊥底面ABCD，E、F分别是AB、SC的中点。(Ⅰ)求证：EF∥平面SAD；(Ⅱ)设SD=2CD，求二面角A－EF－D的大
