第六章曲线与曲面

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1、第六章曲线与曲面一、曲线、曲面参数表示的基础知识1、参数曲线的定义：切矢量、法矢量、曲率、挠率§切矢量：坐标变量关于参数的变化率；弧长：对正则曲线P（t）参数从0到T的弧长；ntdP(t)climL(n)limPPdtnni1i0dti1PP(tt)P(t)，P弦长dpifr点有切线t0的方向为r点切线方向dt设弧长为Ct0Pc如选择C为曲线参数，即P(t)P(c)dpPdp则：limT单位切矢量，＝1dcc0cdcdpdp

2、dp对于一般参数t:if0T1dtdtdtdpdpdp对于参数c:Tdcdtdtdcdpdpdc对比上两式：TdtdtdtdttdP(t)dcdP(t)cdt00dtdtdtcc(t)是关于参数t的单调函数cc(t)存在反函数曲线PP(t)可以用弧长参数表示PP(c)明确概念：dp：单位切矢量dcdp：切矢量dt如果切矢量是弦长的n倍曲线过顶点或回转如果切矢量远小于弦长曲线过于平坦§曲率：曲线的弯曲变化率；TTTTT1212T

3、T,TTT1212ccTTcTT1212TT12又：lim10TT12TTTdT12klim(lim)(lim)c0cc0cc0TTdc122dp'dp''又Tp(c)kp(c)2dcdc1/2222dx2dy2dz2k(2)(2)(2)dcdcdc1曲率半径：k1§法矢量T:单位切矢量，方向为曲线的切线方向dT与T垂直dc与dT平行的单位矢量记为NdcdT＝dTN＝KN＝1NdcdcK

4、N为曲率矢量，模为K对于空间的参数曲线：垂直单位切矢量T的矢量法矢量KN为法矢量，N为单位法矢量曲线某点有一束法线（以R点为中心向外辐射），在同一平面法平面（通过该点与T垂直的平面）平行N的法线主法线（通过曲率中心与R点的法线）N为单位主法线矢量设BTN垂直于T和N的法线副法线其中B为单位副法线矢量T,N,B组成互相垂直的直角坐标系，下列关系成立：BTN,TNB,NBT通过定点RTN决定的平面密切平面NB决定的平面法平面BT决定的平面化直平面§挠

5、率dB平面曲线密切平面就是曲线所在平面副法矢量不变0dcdB非平面曲线B不是常数反映曲线的钮挠性质挠率dc设曲线R点的弧参数C，R邻域内取曲线上点Q,参数CC为R,Q处密切平面的夹角平均挠率c为弧长RQc定理：曲线的平面曲线的充要条件：曲线上任意点处的挠率等于02、插值、逼近、拟合与光顺-函数逼近的重要方法；函数逼近问题与插值问题；插值函数；常用方法：线性插值，抛物线插值线性插值：设给定函数f(x)在两个点的值：y1=f(x1),y2=f(x2);要求：线性

6、函数y(x)axb近似代替yf(x)；如选择a,b，使(x)y,(x)y则(x)为f(x)的线性插值函数1122yy21(x)y(xx)点斜式11xx21xxxx21yy两点式12xxxx12212抛物线插值（二次插值）：§设已知f(x)在三个互异点x1,x2,x3的函数值为y1,y2,y3;2§要求：构造函数(x)axbxc使该函数在节点Xi处与f(x)在该点处的值相等；§求解：构造线性方程组，求参数a,b,c，即构造了插值函数§逼近：-插值的

7、问题？§型值点太多时→构造插值函数困难；§型值点多→误差大；-解决：选择低阶函数,在某种意义上逼近型值点→最佳逼近§常用方法：最小二乘法-最小二乘法：逼近的效果由各点偏差的平方和最小或加权的方差最小；§光顺：拐点不要太多-曲线的拐点太多→视觉效果差；-平面曲线的相对光顺条件：§1）具有二阶几何连续；§2）不存在多余拐点和奇异点；§3）曲率变化较小；例：平面上的三次参数曲线段：23xaatatat012323ybbtbtbt0t10123§相应拐点方程：2pt2qt2r0，

8、式中,(p,q,r)(a,a,a)(b,b,b)1231232§若p≠0，则可以构造表达式：I(q/p)2r/p§当I>0时，相应曲线有两个实拐点；§当I＝0时，曲线上出现一个尖点；§当I<0时，曲线上会出现一个二重点；§拟合：曲线、曲面的设计过程中，用插值或逼近方法是生成的曲线、曲面达到某些设计要求。33、参数曲线的代数形式和几何形式32x(t)atatata3x2x1x0x考虑三次参数曲线的代数形式：32y(t)a3yta2yta1yta0yt[