备战2011高考数学_压轴题跟踪演练系列二

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1、备战2010高考数学――压轴题跟踪演练系列二1.(本小题满分12分)已知常数a>0,n为正整数,fn(x)=xn–(x+a)n(x>0)是关于x的函数.(1)判定函数fn(x)的单调性,并证明你的结论.(2)对任意n³a,证明f`n+1(n+1)<(n+1)fn`(n)解:(1)fn`(x)=nxn–1–n(x+a)n–1=n[xn–1–(x+a)n–1],∵a>0,x>0,∴fn`(x)<0,∴fn(x)在(0,+∞)单调递减.4分(2)由上知:当x>a>0时,fn(x)=xn–(x+a)n是关

2、于x的减函数,∴当n³a时,有:(n+1)n–(n+1+a)n£nn–(n+a)n.2分又∴f`n+1(x)=(n+1)[xn–(x+a)n],∴f`n+1(n+1)=(n+1)[(n+1)n–(n+1+a)n]<(n+1)[nn–(n+a)n]=(n+1)[nn–(n+a)(n+a)n–1]2分(n+1)fn`(n)=(n+1)n[nn–1–(n+a)n–1]=(n+1)[nn–n(n+a)n–1],2分∵(n+a)>n,∴f`n+1(n+1)<(n+1)fn`(n).2分2.(本小题满分12分

3、)已知:y=f(x)定义域为[–1,1],且满足:f(–1)=f(1)=0,对任意u,vÎ[–1,1],都有

4、f(u)–f(v)

5、≤

6、u–v

7、.(1)判断函数p(x)=x2–1是否满足题设条件?(2)判断函数g(x)=,是否满足题设条件?解:(1)若u,vÎ[–1,1],

8、p(u)–p(v)

9、=

10、u2–v2

11、=

12、(u+v)(u–v)

13、,取u=Î[–1,1],v=Î[–1,1],则

14、p(u)–p(v)

15、=

16、(u+v)(u–v)

17、=

18、u–v

19、>

20、u–v

21、,所以p(x)不满足题设条件.(2)分三种情况讨

22、论:10.若u,vÎ[–1,0],则

23、g(u)–g(v)

24、=

25、(1+u)–(1+v)

26、=

27、u–v

28、,满足题设条件;20.若u,vÎ[0,1],则

29、g(u)–g(v)

30、=

31、(1–u)–(1–v)

32、=

33、v–u

34、,满足题设条件;30.若uÎ[–1,0],vÎ[0,1],则:

35、g(u)–g(v)

36、=

37、(1–u)–(1+v)

38、=

39、–u–v

40、=

41、v+u

42、≤

43、v–u

44、=

45、u–v

46、,满足题设条件;40若uÎ[0,1],vÎ[–1,0],同理可证满足题设条件.综合上述得g(x)满足条件.3.(本小题满分14分)已知

47、点P(t,y)在函数f(x)=(x¹–1)的图象上,且有t2–c2at+4c2=0(c¹0).(1)求证:

48、ac

49、³4;(2)求证:在(–1,+∞)上f(x)单调递增.(3)(仅理科做)求证:f(

50、a

51、)+f(

52、c

53、)>1.证:(1)∵tÎR,t¹–1,∴⊿=(–c2a)2–16c2=c4a2–16c2³0,∵c¹0,∴c2a2³16,∴

54、ac

55、³4.(2)由f(x)=1–,法1.设–10,x2+

56、1>0,∴f(x2)–f(x1)<0,即f(x2)0得x¹–1,∴x>–1时,f(x)单调递增.(3)(仅理科做)∵f(x)在x>–1时单调递增,

57、c

58、³>0,∴f(

59、c

60、)³f()==f(

61、a

62、)+f(

63、c

64、)=+>+=1.即f(

65、a

66、)+f(

67、c

68、)>1.4.(本小题满分15分)设定义在R上的函数(其中∈R,i=0,1,2,3,4),当x=-1时,f(x)取得极大值,并且函数y=f(x+1)的图象关于点(-1,0)对称.(1)求

69、f(x)的表达式;(2)试在函数f(x)的图象上求两点,使这两点为切点的切线互相垂直,且切点的横坐标都在区间上;(3)若,求证:解:(1)…………………………5分(2)或…………10分(3)用导数求最值,可证得……15分5.(本小题满分13分)设M是椭圆上的一点,P、Q、T分别为M关于y轴、原点、x轴的对称点,N为椭圆C上异于M的另一点,且MN⊥MQ,QN与PT的交点为E,当M沿椭圆C运动时,求动点E的轨迹方程.解:设点的坐标则……1分………………………………………………………3分由(1)-(2)

70、可得………………………………6分又MN⊥MQ,所以直线QN的方程为,又直线PT的方程为……10分从而得所以代入(1)可得此即为所求的轨迹方程.………………13分6.(本小题满分12分)过抛物线上不同两点A、B分别作抛物线的切线相交于P点,(1)求点P的轨迹方程;(2)已知点F(0,1),是否存在实数使得?若存在,求出的值,若不存在,请说明理由.解法(一):(1)设由得:………………………………3分直线PA的方程是:即①同理,直线PB的方程是:②由①②得:∴点P的轨迹方程是……………

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