2011年东北三省四市联考三模理科数学答案

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1、2011年理科数学试题参考答案一．选择题1．D；2．A；3．A；4．D；5．C；6．A；7．B；8．B；9．D；10.D；11.C；12.A．二．填空题13.14.；15．16..三.解答题17．解：（Ⅰ）因为，所以.2分在中，设，则由余弦定理可得①4分在和中，由余弦定理可得，．6分因为，所以有，所以②由①②可得，即．9分（Ⅱ）由（Ⅰ）得的面积为，所以的面积为．12分（注：也可以设，所以，用向量法解决；或者以第7页共7页为原点，为轴建立平面直角坐标系，用坐标法解答；或者过作平行线交延长线于，用正余弦定理解答．具体过程略）18．解（Ⅰ）为中点．1分证法一：取中点，连接．所以可得，所以3分同理,

2、又所以面面．5分所以平面．6分证法二：因为，且O为AC的中点，所以．又由题意可知，平面平面，交线为，且平面，所以平面．以O为原点，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．1分由题意可知，又所以得:则有：．2分设平面的一个法向量为，则有，令，得所以．4分设即，得第7页共7页所以得令平面，得，即得．即存在这样的点E，E为的中点．6分（Ⅱ）由法二，已知，设面的法向量为，则，令，所以．8分所以．10分由图可得二面角为钝角，所以所求余弦值大小为．12分19．解：（Ⅰ）>．2分（Ⅱ）甲班有4人及格，乙班有5人及格．事件“从两班10名同学中各抽取一人，已知有人及格”记作，事件“从两班10名同学中各抽

3、取一人，乙班同学不及格”记作，则．6分（Ⅲ）X取值为0,1,2,3；；；．10分所以X的分布列为X0123P(X)所以．12分20.解：（Ⅰ）由题意知，所以．第7页共7页即．2分又因为，所以，．故椭圆的方程为．4分（Ⅱ）由题意知直线的斜率存在.设：，，，，由得.，.6分，.∵，∴，，.∵点在椭圆上，∴，∴.8分∵＜，∴，∴∴，∴，∴.10分∴，∵，∴，∴或，第7页共7页∴实数取值范围为.12分(注意：可设直线方程为，但需要讨论或两种情况)21．解：（Ⅰ）1分2分3分所以所求切线方程4分（Ⅱ）证明：假设存在，，即.5分∵，∴上的单调减函数7分∴矛盾，即是唯一的.8分（Ⅲ）证明：设，因为∵在定义

4、域上是单调减函数．9分∴．∵∴．10分∵∴为钝角.故△ABC为钝角三角形．12分22．证明：（Ⅰ）连结，是直径，，．2分切圆于，．2分．5分（Ⅱ）连结，切圆于，．6分又∽．8分第7页共7页．10分23．解：曲线（为参数）上的每一点纵坐标不变，横坐标变为原来的一半得到，1分然后整个图象向右平移个单位得到，2分最后横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得到，3分所以为，4分又为，即，5分所以和公共弦所在直线为，7分所以到距离为，所以公共弦长为．10分24解：（Ⅰ）2分因为，2分最小值为时取到为．5分（Ⅱ）原式等价于，设，则原式变为对任意恒成立．7分第7页共7页所以有，解得．10分第7页共7页