函数周期性复习练习题

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1、函数周期性一．定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使恒成立则f(x)叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。二．重要结论1、，则是以为周期的周期函数；2、若函数y=f(x)满足f(x+a)=-f(x)(a>0),则f(x)为周期函数且2a是它的一个周期。3、若函数，则是以为周期的周期函数4、y=f(x)满足f(x+a)=(a>0),则f(x)为周期函数且2a是它的一个周期。5、若函数y=f(x)满足f(x+a)=(a>0),则f(x)为周期函数且2a是它的一个周期。6、，则是以为周期的周期函数.7、，则是以为周期的周期函数.8、若函数y=

2、f(x)的图像关于直线x=a,x=b(b>a)都对称,则f(x)为周期函数且2（b-a）是它的一个周期。9、函数的图象关于两点、都对称，则函数是以为周期的周期函数；10、函数的图象关于和直线都对称，则函数是以为周期的周期函数；11、若偶函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称，则f(x)为周期函数且2是它的一个周期。12、若奇函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称，则f(x)为周期函数且4是它的一个周期。13、若函数y=f(x)满足f(x)=f(x-a)+f(x+a)(a>0),则f(x)为周期函数,6a是它的一个周期。14、若奇函数y=f(x

3、)满足f(x+T)=f(x)(x∈R，T≠0),则f()=0.函数的轴对称：定理1：如果函数满足，则函数的图象关于直线对称.推论1：如果函数满足，则函数的图象关于直线对称.推论2：如果函数满足，则函数的图象关于直线（y轴）对称.特别地，推论2就是偶函数的定义和性质.它是上述定理1的简化.一、函数的点对称：定理2：如果函数满足，则函数的图象关于点对称.推论3：如果函数满足，则函数的图象关于点对称.推论4：如果函数满足，则函数的图象关于原点对称.特别地，推论4就是奇函数的定义和性质.它是上述定理2的简化.三、函数周期性的性质：定理3：若函数在R上满足

4、，且（其中），则函数以为周期.函数的周期性第6页定理4：若函数在R上满足，且（其中），则函数以为周期.定理5：若函数在R上满足，且（其中），则函数以为周期.以上几类情形具有一定的迷惑性,但读者若能区分是考查单一函数还是两个函数,同时分析条件特征必能拨开迷雾,马到成功.下面以例题来分析.例1．已知定义为R的函数满足，且函数在区间上单调递增.如果，且，则的值（）.A．恒小于0B．恒大于0C．可能为0D．可正可负.20分析：形似周期函数，但事实上不是，不过我们可以取特殊值代入，通过适当描点作出它的图象来了解其性质.或者，先用代替，使变形为.它的特征就是

5、推论3.因此图象关于点对称.在区间上单调递增，在区间上也单调递增.我们可以把该函数想象成是奇函数向右平移了两个单位.（如图），且函数在上单调递增，所以，又由，有，.选A.当然，如果已经作出大致图象后，用特殊值代人也可猜想出答案为A.练1：（07天津7）在R上定义的函数是偶函数，且.若在区间上是减函数，则()A.在区间上是增函数，在区间上是减函数B.在区间上是增函数，在区间上是减函数C.在区间上是减函数，在区间上是增函数D.在区间上是减函数，在区间上是增函数分析：由可知图象关于对称，即推论1的应用.又因为为偶函数图象关于对称，可得到为周期函数且最小

6、正周期为2，结合在区间上是减函数，可得如右草图.故选B练2.（07安徽）定义在R上的函数既是奇函数，又是周期函数，是它的一个正周期.若将方程在闭区间上的根的个数记为，则可能为（）函数的周期性第6页A.0B.1C.3D.5分析：，，∴，则可能为5？例2．已知函数的图象关于直线和都对称，且当时，.求的值.分析：由推论1可知，的图象关于直线对称，即，同样，满足，现由上述的定理3知是以4为周期的函数.，同时还知是偶函数，所以.例3．，则，，，…，中最多有（）个不同的值.A.165B.177C.183D.199分析：由已知.又有，于是有周期352，于是能在

7、中找到.又的图像关于直线对称，故这些值可以在中找到.又的图像关于直线对称，故这些值可以在中找到.共有177个.选B.练3：已知，，，…，，则（）.分析：由，可令x=f（x）知，，.为迭代周期函数，故，，.即将x=-2带进原函数中练4：函数在R上有定义，且满足是偶函数，且，是奇函数，则函数的周期性第6页的值为.解：，，令，则，即有，令，则，其中，，，.或有，得.练习：1、判断函数f(x)=的奇偶性解：由题∴函数的定义域为[－1,0)∪(0,1]=－f(x)此时f(x)=故f(x)是奇函数4、抽象函数奇偶性的判定与证明例4（2007北京西城）已知函数

8、对一切，都有，（1）求证：是奇函数；（2）若，用表示解：（1）显然的定义域是，它关于原点对称．在中，令，得，令，得，∴，∴，即，∴是奇函