hamilton体系中timoshenko梁冲击问题的描述和求解

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1、Hamilton体系中Timoshenko梁冲击问题的描述和求解第18卷第3期2005年9月振动工程JournalofVibrationEngineeringVo1.18NO.3Sep.2005Hamilton体系中Timoshenko梁冲击问题的描述和求解邢誉峰,钱志英(北京航空航天大学航空科学与工程学院固体力学研究所,北京100083)摘要:针对Timoshenko梁的冲击问题,在Hamilton体系中通过直接求解Hamilton矩阵的本征值问题并利用共轭辛正交关系,给出了以位移和应力表示的全状态向量解的一般表达式.根据边界条件给出

2、了频率方程和广义模态函数向量.从Hamilton正则方程出发证明了广义模态函数向量的正交性,并给出了动响应及数值结果.从文中可以看出在Hamilton体系中结构弹性动力学问题的描述和求解的一般方法.通过比较本文结果与已有结果可以看出本文方法的正确性和可行性.关键词:冲击;本征向量;模态叠加法;Hamilton体系;Timoshenko梁中图分类号:O347.1文献标识码:A文章编号:1004—4523(2005)03—0266-06引言对于结构动力学问题,通常是在Iagrange体系下进行描述和求解.在这种体系中,利用实对称矩阵及其特征

3、值理论,可以得到了模态函数的正交性以及模态叠加法,并且振动问题的求解方法具有直观和物理意义明确等优点.在Iagrange体系下普遍采用将方程简化到一类变量的做法,导致动力方程阶次升高,给求解带来困难.对于薄板固有振动问题,也只有一对边简支的情况才可以用"半逆法"求出其模态函数和频率方程的解析表达式.Hamilton体系是基于Newton体系和Iagrange体系发展起来并且已经发展成为与其相平行的力学体系.Hamilton体系已经应用于物理学的各个领域,正是因为Hamilton体系在控制学科中的应用,才使得现代控制理论蓬勃发展起来.在借

4、鉴了现代控制论的数学问题与结构力学一类问题模拟关系的基础上,钟万勰等将Hamilton对偶体系引入到弹性力学中,并在这个领域做了大量工作u].他们建立了以位移和应力为对偶变量的Hamilton正则方程的弹性力学求解框架,对一些问题给出了在Ira—grange体系中无法直接得到的解析解,展示了Hamilton体系描述和求解力学问题的独特优势.关于在Hamilton体系中对结构弹性动力学问题进行直接描述和求解工作,鲜见公开发表的文献.收稿日期:2004一IO-25;修订日期:2005—03—25本文在钟万勰等人工作基础之上,以有限长度的Ti

5、moshenko悬臂梁的冲击问题为例,说明用Hamil—ton体系直接描述和求解结构弹性动力学问题的一般方法.给出了以位移和应力表示的全状态向量解的一般表达式,利用边界条件给出了频率方程和广义模态函数向量.并从正则方程出发证明了广义模态函数向量的正交性.邢誉峰等已经用直接模态叠加方法在Iagrange体系下求出了Timoshenko梁碰撞问题的解析解[4],本文之所以仍然选择此问题进行研究,主要是因为Hamilton体系辛空间中的对偶分析方法与Iagrange体系欧几里德空间中的半逆法是完全不同的两种方法,需要把用新方法得到的结果与原来

6、的结果进行比较,以检验新方法的正确性,为今后用辛对偶方法研究原来无法直接求解的动力学问题作一点有益的前期工作.1问题的描述如图1所示,一个刚性球撞击在悬臂梁的自由端,不考虑接触变形.直接模态叠加方法把结构之间的弹性碰撞问题看成是碰撞系统自由振动的初值问题.令位移和剖面转角分别为(,￡):训()e,(,f)一()ei"式中一一1.频域内Timoshenko梁的自由振动微分方程为第3期邢誉峰,等:Hamilton体系中Timoshenko梁冲击问题的描述和求解一(图1球与悬臂梁碰撞示意图f[G(一)]+ID2硼一01c,+一护+一.式中E1

7、,G,A,ID和k分别是梁的弯曲刚度,剪切模量,截面面积,质量密度和剪切修正系数.1.1Hamilton正则方程在动力方程(1)中,可以把坐标模拟为Ira—grange体系及Hamilton体系的时间坐标,记(?)=d/dx.把两个广义位移/.U,0写为向量的形式q一{W0},一{0}(2)Lagrange密度函数可以写为L(q,)一÷K22+7TK.q+去gK1.q(3)式中一[一[:一1一[一Gp,]'4根据Iegendre变换,引入变量q的对偶变量p一面OL—K22+Kzlg一{FM}(5)式中F和M分别为剪力模态函数和弯矩模态函

8、数.Hamilton密度函数为H(g,p)一P一L(q,)一PAg一去gg+÷pDp(6)式中A一一[:.厂l/(kGA)D一22【-0B—K1l—Kl2.K21—0]1/(E)jr—pawL-0f一—31