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1、论矩阵在某些领域的应用姓名：班级：学院：专业：我们首先讨论矩阵的概念的以及应用一、矩阵的基本概念矩阵，是由个数组成的一个行列的矩形表格，通常用大写字母表示，组成矩阵的每一个数，均称为矩阵的元素，通常用小写字母其元素表示，其中下标都是正整数，他们表示该元素在矩阵中的位置。比如，或表示一个矩阵，下标表示元素位于该矩阵的第行、第列。元素全为零的矩阵称为零矩阵。特别地，一个矩阵，也称为一个维列向量；而一个矩阵，也称为一个维行向量。当一个矩阵的行数与烈数相等时，该矩阵称为一个阶方阵。对于方阵，从左上角到右下角的连
2、线，称为主对角线；而从左下角到右上角的连线称为付对角线。若一个阶方阵的主对角线上的元素都是，而其余元素都是零，则称为单位矩阵，记为，即：。如一个阶方阵的主对角线上（下）方的元素都是零，则称为下（上）三角矩阵，例如，是一个阶下三角矩阵，而则是一个阶上三角矩阵。今后我们用表示数域上的矩阵构成的集合，而用或者表示数域上的阶方阵构成的集合。二、矩阵的运算1、矩阵的加法：如果是两个同型矩阵（即它们具有相同的行数和列数，比如说），则定义它们的和仍为与它们同型的矩阵（即），的元素为和对应元素的和，即：。给定矩阵，我们
3、定义其负矩阵为：。这样我们可以定义同型矩阵的减法为：。由于矩阵的加法运算归结为其元素的加法运算，容易验证，矩阵的加法满足下列运算律：（1）交换律：；（2）结合律：；2、数与矩阵的乘法：设为一个数，，则定义与的乘积仍为中的一个矩阵，中的元素就是用数乘中对应的元素的道德，即。由定义可知：。容易验证数与矩阵的乘法满足下列运算律：（1）；（2）；（3）；（4）。3、矩阵的乘法：设为距阵，为距阵，则矩阵可以左乘矩阵（注意：距阵德列数等与矩阵的行数），所得的积为一个距阵，即，其中，并且。据真的乘法满足下列运算律（假
4、定下面的运算均有意义）：（1）结合律：；（2）左分配律：；（3）右分配律：；（4）数与矩阵乘法的结合律：；（5）单位元的存在性：。若为阶方阵，则对任意正整数，我们定义：，并规定：由于矩阵乘法满足结合律，我们有：，注意：矩阵的乘法与通常数的乘法有很大区别，特别应该注意的是：（1）矩阵乘法不满足交换律：一般来讲即便有意义，也未必有意义；倘使都有意义，二者也未必相等（请读者自己举反例）。正是由于这个原因，一般来讲，，。（2）两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵，即未必能推出或者（请读者自己举反例）。（3）消去律部成
5、立：如果并且，未必有。4、矩阵的转置：定义：设为矩阵，我们定义的转置为一个矩阵，并用表示的转置，即：。矩阵的转置运算满足下列运算律：（1）；（2）；（3）；（4）。。5、对称矩阵：阶方阵若满足条件：，则称为对称矩阵；若满足条件：，则称为反对称矩阵。若设，则为对称矩阵，当且仅当对任意的成立；为反对称矩阵，当且仅当对任意的成立。从而反对称局针对角线上的元素必为零。对称矩阵具有如下性质：（1）对于任意矩阵，为阶对称矩阵；而为阶对称矩阵；（2）两个同阶（反）对称矩阵的和，仍为（反）对称矩阵；（3）如果两个同阶（
6、反）对称矩阵可交换，即，则它们的乘积必为对称矩阵，即。关于这个逆矩阵是如何计算出的,通常的有两种方法:一是使用伴随矩阵,通过计算行列式得到.所用公式为:M^-1=M^*/D.(其中M^*为M的伴随矩阵,D为M的行列式的值)二是通过增广矩阵,在M右侧附加一个n阶单位矩阵,再通过初等变换将增广矩阵的左侧变换为一个n阶单位矩阵,这时右侧便是所求的逆矩阵再次讨论矩阵的应用希尔密码是运用基本矩阵论原理的替换密码，由LesterS.Hill在1929年发明。 每个字母当作26进制数字：A=0,B=1,C=2...
7、一串字母当成n维向量，跟一个n×n的矩阵相乘，再将得出的结果模26。注意用作加密的矩阵（即密匙）在必须是可逆的，否则就不可能译码。只有矩阵的行列式和26互质，才是可逆的。希尔密码所需要掌握的前置知识:1)线性代数基础知识.2)初等数论基础知识.相关概念:线性代数中的逆矩阵:在线性代数中,大家都知道,对于一个n阶矩阵M,如果存在一个n阶矩阵N,使得M*N=E(其中:E为n阶单位矩阵),则称矩阵N为矩阵M的逆矩阵,并记为M^-1.比如2阶矩阵M=[3,6],则很
8、容易得知其逆矩阵:[2,7]M^-1=[7/9,-2/3][-2/9,1/3].希尔密码原理:加密者在对明文加密前会选择一个加密秘匙,这个秘匙最终会以一个m矩阵的形式参与到加密算法中的.在加密者选定了加密秘匙后,m便得到了确定,这时,加密者将明文按m个字母一组的形式分成多组,最后一组不足m个字母的按特定的方式补齐.这样就形成了很多组由m个字母组成的单个向量,然后对每一个m阶向量,我们用它去乘以确定好了的秘匙.Hillcipher（希尔密码）
