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时间:2018-07-12
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1、三角函数知识归纳与典型例题1、角的概念的推广:平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角,按顺时针方向旋转所形成的角叫负角,一条射线没有作任何旋转时,称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边,终止位置称为终边。2、象限角的概念:在直角坐标系中,使角的顶点与原点重合,角的始边与轴的非负半轴重合,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何象限。3.终边相同的角的表示:(1)终边与终边相同(的终边在终边所在射线上),注意:相等的角的终边一定相同,终边相同的角不一定相等.例1.与角的终边相同,且
2、绝对值最小的角的度数是_,合__弧度。(2)终边与终边共线(的终边在终边所在直线上).(3)终边与终边关于轴对称.(4)终边与终边关于轴对称.(5)终边与终边关于原点对称.(6)终边在轴上的角可表示为:;终边在轴上的角可表示为:;终边在坐标轴上的角可表示为:.例2.的终边与的终边关于直线对称,则=____________。4、与的终边关系:由“两等分各象限、一二三四”确定.例3.若是第二象限角,则是第__一、三___象限角5.弧长公式:,扇形面积公式:,1弧度(1rad).例4.已知扇形AOB的周长是6cm,该扇形的中心角是1弧度,求该扇形的面积。答案:2)6、任意角的三角函数的定义
3、:设是任意一个角,P是的终边上的任意一点(异于原点),它与原点的距离是,那么,,,,。三角函数值只与角的大小有关,而与终边上点P的位置无关。例5.(1)已知角的终边经过点P(5,-12),则的值为__。(2)设是第三、四象限角,,则的取值范围是___(-1,____.15(3)若,试判断的符号答:负7.三角函数线的特征是:正弦线MP“站在轴上(起点在轴上)”、余弦线OM“躺在轴上(起点是原点)”、正切线AT“站在点处(起点是)”.三角函数线的重要应用是比较三角函数值的大小和解三角不等式。例6.(1)若,则的大小关系为_____()(2)若为锐角,则的大小关系为_______,()(3
4、)函数的定义域是_______,答案:8.特殊角的三角函数值:30°45°60°0°90°180°270°15°75°010-110-101002-2+1002+2-9.同角三角函数的基本关系式:(1)平方关系:(2)倒数关系:sincsc=1,cossec=1,tancot=1,(3)商数关系:同角三角函数的基本关系式的主要应用是,已知一个角的三角函数值,求此角的其它三角函数值。在运用平方关系解题时,要根据已知角的范围和三角函数的取值,尽可能地压缩角的范围,以便进行定号;在具体求三角函数值时,一般不需用同角三角函数的基本关系式,而是先根据角的范围确定三角函数值的符号,再利用解直角三
5、角形求出此三角函数值的绝对值。例7.(1)函数的值的符号为____大于0,(2)若,则使成立的的取值范围是____,15答案:(3)已知,,则=___,(4)已知,则=____;=_________;(5)已知,则等于 (B)A、 B、 C、 D、;(6)已知,则的值为______-1。10.三角函数诱导公式()的本质是:奇变偶不变(对而言,指取奇数或偶数),符号看象限(看原函数,同时可把看成是锐角).诱导公式的应用是求任意角的三角函数值,其一般步骤:(1)负角变正角,再写成2k+,;(2)转化为锐角三角函数。例8.(1)的值为________;(2)已知,则______,
6、若为第二象限角,则________。11、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式:例9.(1)下列各式中,值为的是(C)A、B、 C、 D、 ;15(2)命题P:,命题Q:,则P是Q的()A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件;(3)已知,那么的值为____;(4)的值是____4__;(5)已知,求的值(用a表示)甲求得的结果是,乙求得的结果是,对甲、乙求得的结果的正确性你的判断是______甲、乙都对;12.三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是:一角二名三结构。即首先观察角与角之间的关系,注意角的一些常用变式,角的变换是三
7、角函数变换的核心!第二看函数名称之间的关系,通常“切化弦”;第三观察代数式的结构特点。基本的技巧有:(1)巧变角(已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换.如,,,,等),例10.(1)已知,,那么的值是_____;(2)已知,且,,求的值;答案:(3)已知为锐角,,,则与的函数关系为______;(2)三角函数名互化(切割化弦),例11.(1)求值;(答案:1(2)已知,求的值;答案:(3)公式变形使用(。例12
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