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1、广义正交表GL7（3^1第30卷第5期2011年9月许昌学院JOURNALOFXUCHANGUNIVERSITYVo1.30.No.5Sep.2011文章编号:1671—9824(2011)05—0012—05广义正交表,(3;24)及其应用吴亚桢,张建军(许昌学院数学与统计学院,河南许昌461000)摘要:定义了一种基于正交相遇平衡区组设计(或者广义正交表)的统计模型,给出了二次型统计量及数据的平方和分解,在此基础上进行了方差分析研究,最后,给出了广义正交表的应用实例.关键词:正交平衡区组设计;广义正交表;统计模型;方差分析中图分类号:O212.6文献标识码:A0引言试
2、验设计在改进产品设计,提高工艺,进而提高产品质量的过程中起着举足轻重的作用.目前,试验中最常用的设计方法是正交设计和均匀设计,特别是正交设计.虽然正交设计在试验设计领域取得了巨大成功,但是在某些场合由于试验条件得不到满足而不得不放弃这一优良设计方案.正交平衡区组设计(或者广义正交表)是一种类似于正交拉丁方(或者正交表)的新设计¨,这种设计不但保持了正交设计在数据分析中的正交性质,以及正交设计在试验布点时的均匀性质,而且可以大幅度减少试验次数,试验次数往往可以达到最少,甚至比正交设计的次数还要少,它采用类似于在正交表的数据分析及其构造中的投影矩阵正交分解技术,引入了相遇平衡
3、区组设计的矩阵像的概念,并证明了相遇平衡区组设计的组合正交性等价于投影矩阵的矩阵正交性,进一步推广了正交BIB设计的理论.本文定义了一种基于正交相遇平衡区组设计(或者广义正交表)的统计模型,并进行了方差分析.研究,最后给出了广义正交表,(3;24')的应用实例.1正交平衡区组设计的定义及统计模型定义1任意具有个水平b个区组Bl=(b1l,…,bl.),…,B6=(b6l,…,b6)的设计都称为区组设计,这里6为整数满足:1sb,J=1,…,k,而k为区组的大小,即向量曰的维数.记这样的区组设计为D()=[B一,曰]=(b),这里k=(k一,k)为向量.为了以后叙述方便,我
4、们也把区组设计D6()=[.,…,曰],视为矩阵(这是一种各行列数可以不相等的多边矩阵),并把bXk也称为区组设计D()的阶,而第个b区组B对应于矩阵D()的第i行.记n=∑Ji},称为区组设计D()=[B一,8r的试验次数.定义2对于任意一个水平,∈{l,2,…,},记其在区组设计D()的第i行出现的次数为ri().若r()=0,说明水平没有在区组设计D()的第i行出现.若r():1,说明水平在D()的第行出现了,但没有重复.若r()>1,说明水平在D()的第i行出现了,并且有重复.收稿日期:2011—04—02基金项目:教育部高校博士点专项基金(44K55050
5、);河南省教育厅自然科学基金(2011A110019);许昌学院科研基金(2011B042)作者筒介:吴亚桢(198O一),男,河南许昌人,讲师,硕士,研究方向:应用统计,试验设计.第30卷第5期吴亚桢,等:广义正交表GL,(3;24)及其应用13如果两个不同的水平,Y在同一个区组B出现,那么定义它们相遇,在这个区组的相遇次数定义为r()rl(Y).将个水平安排到b个区组B.,曰,…,的一个区组设计D()称为平衡的,假若该设计满足如下两个条件:(1)对任意的水平组合(,Y),≠),,,Y∈{1,…,}如下数值是个常数A(,,,):圭二:A>0,Yx≠,,,,),∈{
6、1,…,},'Ii其中A称为相遇度,相遇度必须大于0才理解为平衡,这个条件称为相遇平衡条件.(2)对于任意水平,∈{1,2,…,},如下数值是个常数brf,r()=∑孚=r>0,VE{1,…,},1其中r称为重复度,这个条件称为组间平衡条件.相遇平衡作为平衡的基本条件之一,由其得到的结论可自然推广至平衡的情形.定义3一个区组设计称为完全的,如果在每一个区组内包含设计的所有水平.一个区组设计称为不完全的,如果至少存在一个区组在其内不包含设计的所有水平.定义4一个区组设计称为组内平衡的,如果在每一个区组内的元素出现的次数相同.定义5两个区组设计称为同阶的,如果它们同样位
7、置(同一行)的区组的大小是相等的.考虑两个同阶的区组设计D(.)=(6),D(.)=(b),对水平组合(,,,),∈{1,…,l},Y∈{1,…,2},如果水平组合(,y),∈{1,…,.},Y∈{1,…,:}分别在区组设计D(.)=(6),D()=(b)的第i个区组的相同列出现,称它们在该区组重复.水平组合(,Y)在两个区组设计的第i个区组的重复次数为集合}_『;(b,b;)=(,,,),J=1,…,k},内元素的个数,记为r(,y),i=1,…,b.而记r(,)=∑1(,y),称为水平组合(,,,)的在区组设计D()=(6
