第3章力系的平衡条件与平衡方程

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1、第3章力系的平衡条件与平衡方程3.1平面力系的平衡条件与平衡方程3.1.1平面一般力系的平衡条件与平衡方程如果一个平面一般力系的主矢和力系对任一点的主矩同时都等于零，物体将不会移动也不会转动，则该物体处于平衡状态。力系平衡的充分必要条件：力系的主矢和力系对任一点的主矩都分别等于零，即平衡条件的解析式：或平面一般力系的平衡方程该式表明，平面一般力系的平衡条件也可叙述为：力系中各力在任选的坐标轴上的投影的代数和分别等于零，以及各力对任一点的矩的代数和也等于零。平面汇交力系：平面汇交力系对平面内任意一点的主矩都等于零，即恒满足物体在平面汇交力系作用下平衡方程：26例题3-1图

2、所示为悬臂式吊车结构图。其中为吊车大梁，为钢索，处为固定铰支座，处为铰链约束。已知起重电动机与重物的总重量为（因为两滑轮之间的距离很小，可视为集中力作用在大梁上）梁的重力为已知角度。求：1、电动机处于任意位置时，钢索所受的力和支座处的约束力；2、分析电动机处于什么位置时。钢索受力最大，并确定其数值。解：1、选择研究对象以大梁为研究对象，对其作受力分析，并建立图示坐标系。建立平衡方程取为矩心。根据26由由由可知当时钢索受力最大，其最大值为在平面力系的情形下，力矩中心应尽量选在两个或多个未知力的交点上，这样建立的力矩平衡方程中将不包含这些未知力；坐标系中坐标轴取向应尽量与多

3、数未知力相垂直，从而这些未知力在这一坐标轴上的投影等于零，这样可减少力的平衡方程中未知力的数目。例题3-2端固定的悬臂梁受力如图所示。梁的全长上作用有集度为的均布载荷；自由端处承受一集中力和一力偶的作用。已知为梁的长度。试求固定端处的约束力。解：1、研究对象、隔离体与受力图2、将均布载荷简化为集中力263、建立平衡方程，求解未知约束力，，,,，例题3-3图所示刚架，由立柱和横梁组成。处为刚性节点（刚架受力和变形过程中横梁和竖杆之间的角度保持不变）。刚架在处为固定铰支座；处为辊轴支座；受力如图所示。若图中和均为已知，求二处的约束力。解：1、研究对象、隔离体与受力图262、

4、应用平衡方程求解未知力，；，，；，，。以上负号表明和的实际方向与图中所设方向相反。【例】图示梁受一力偶作用,其矩，，。试求支座的反力。解：⑴取梁为研究对象。⑵画出受力图。梁处于平衡状态，,⑶列出平衡方程，说明的方向与图中所设方向一致。【例】图示梁，其端为铰链支座，端为滚动支座。梁的跨度为，在梁的左半部分，即段上有均布荷载作用，在截面处有一力偶矩大小为26的力偶作用。梁的自重及各处摩擦均不计，试求和处的支座反力。解：取梁为研究对象，建立图示坐标系。①②③例题3-4图所示的简单结构中，半径为的四分之一圆弧杆与折杆在处用铰链连接，二处均为固定铰支座，折杆上承受力偶矩为的力偶作

5、用，力偶的作用面与结构平面重合。图中。若均为已知，试求二处的约束力。解：1、受力分析2、应用二力构件以及力偶平衡的概念求解折杆：26【例】重的球放在与水平成的光滑斜面上，并用与斜面平行的绳系住。试求绳受到的拉力及球对斜面的压力。解：⑴选球为研究对象。⑵画出受力图。为主动力，为约束力。三力汇交于点。⑶以球心为坐标原点，建立图示坐标系。⑷根据平衡条件建立平衡方程。①②联立解之，得根据作用与反作用定律，绳子所受拉力为；求对斜面的压力为26，其方向与图中相反。也可以斜面向上、垂直斜面向上为轴，则由此可见，选择恰当的坐标系，可使问题求解变得更简单。【例】图所示为起重机起吊一无缝钢

6、管而处于平衡时的情况。已知钢管重，不计吊绳和吊钩的重量。试求铅垂吊索和钢丝绳、中的拉力。解：由对称性可知，【例】简易绞车如图所示，处为铰链连接，钢丝绳绕过滑轮将26的重物缓缓吊起。杆件和滑轮重量以及一切摩擦均不计。滑轮半径很小，可视为一个点。试求和所受的力。解：节点：【例2.9】平面刚架如图所示，为已知，不考虑自重，求支承处的约束反力。解：⑴选刚架为研究对象。⑵画出受力图。因处为活动铰，故的方向竖直向上。处为固定铰，其约束反力方向未知，但因刚架受三力作用平衡，根据三力平衡汇交定理，可知三力必汇交于点。沿方向，⑶以为坐标原点，建立图示坐标系。26⑷根据平衡条件建立平衡方程

7、。①（负号表示的方向与图中所设的方向相反）②注意：写平衡方程时，的指向是以图示指向为准，故将代入②式时仍保留负号。3.1.2平面一般力系平衡方程的其他形式平衡方程的其他形式二矩式其中两点的连线不能与轴垂直。三矩式26其中三点不能共线。选用二矩式或三矩式，可以使一个平衡方程中只包含一个未知力，不会遇到求解联立方程的麻烦。对一个受平面一般力系作用的平衡物体，可以也只能列出三个彼此独立的平衡方程，求解出三个未知数。例题3-5在图所示结构中，三处均为铰链约束。横梁在处承受集中载荷。结构各部分尺寸均示于图中，若已知和试求撑杆的受力以及处的约束力。解