“都市摩天楼”的最佳规划研究

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1、“都市摩天楼”的最佳规划摘要本文通过对魔方、拼图的研究，得出魔方的规律。分别用类比法、拼图的思想对摩天楼的建造展开研究，从而将问题规划为魔方与拼图的问题。采用魔方类比法、拼图法找出摩天楼的相对满意规划。第一、魔方类比法，我们分别研究了MATLAB计算出的3阶与5阶魔方。类比得出1和n2这两个数总是在第一行和第n行的中间部位，其余数字都呈楼梯状依次填列。类比法假设摩天楼的建造也呈一种规律，先对3阶方阵分析研究，其最佳规划是4200人。接着对3阶方阵采用外加围，分割的方法，得出结论：摩天楼的最佳规划为第二、拼图法，为了方便计算，我们将红、蓝、绿、黄四色大楼分

2、别转化为1、4、7、10。将这四个数字分成以下五种拼图板：17474110471011410714像拼图游戏一样，在满足“相邻”条件的情况下，尽量多的使用1、4、7、10的拼图板，尽量少的使用1、4的拼图板（1、4、7、10拼图板的平均数最大）。采用拼图的技巧，通过有限的拼图，得出相对满意的规划为：由魔方得出的规律，我们将模型推广为：2n+1阶方阵的摩天楼规划关键词：魔方拼图类比加外围分割一、问题重述1.1背景都市摩天楼是诺基亚手机的经典游戏，其规则如下：有一个城市，其土地可以表示为一个5×5的方阵。本游戏中，需在该城市的土地上盖四种不同的楼房，蓝、红、

3、绿、黄色四种楼房分别可以容纳100、400、700、1000人。不过盖房子时需满足：1、红色楼房周围（上、下、左、右）必有蓝色楼房；2、绿色楼房周围必有蓝色和红色楼房。3、黄色楼房周围必有蓝色、红色和绿色楼房游戏过程中，一次只能盖一次楼且只要满足“相邻”条件，已建成的楼房可以被新楼取代。1.2问题应如何设计建造方案，使得该城市容纳的人口数最多？二、模型假设1、以土地的中心点旋转后，不影响建造方案。2、建楼的经费足够多。3、每栋楼的占地面积相等，且楼与楼之间不会因为土地问题产生冲突三、问题分析3.1“摩天楼”规划的目标分析本题中，该城市的土地可以规划为5×

4、5阶方阵，如何在该土地上建摩天楼即转化为如何填写此方阵，使其25个元素的总和最大的矩阵问题红、蓝、绿、黄四色摩天楼可容纳100、400、700、1000人就可以分别简化为1、4、7、10这四个数字。“相邻”条件即为：每栋楼周围必需有所有比自身可容纳人数少的楼房。3.2影响规划的三个条件绿色楼房周围要有红色和蓝色楼房。黄色楼房周围要有红色、蓝色和绿色楼房蓝色楼房周围要有红色楼房。摩天楼3.3.1蓝色楼房周围要有红色楼房。3.3.2绿色楼房周围要有红色和蓝色楼房。3.3.3黄色楼房周围要有红色、蓝色和绿色楼房。3.3问题的转化通过3.1的目标分析，“摩天楼”

5、的最佳规划问题即可转化为：在满足“相邻”条件的情况下，怎样填写1、4、7、10使得5×5阶方阵内25个元素总和最大。四、模型分析、建立4.1模型准备4.1.1对矩阵的处理方法在MATLAD中，对魔方的运算已经相当成熟，奇次魔方、偶次魔方都有相应的运算规律。我们运用数学类比法，假设摩天楼的建造也存在一定的规律。魔方的分析：用MATLAB运算的结果：（1）3阶魔方8163574927816835742981635749221332163542图-1图-2图-3图-4对3阶魔方的研究，我们可以得出以下结论：①1在第一行中间部位，9在第三行中间部位②4、5、6呈

6、楼梯状在矩阵的对角线上③2呈楼梯状应填在如图-1虚线框中，而虚线框实际上是不存在的，所以直接放在最下边④(2)5阶魔方172418152357141646132022101219213111825294141071014141414107107101414110710710414144141414107107107101414141107107107104141414107107107101414141