都市摩天楼的最佳规划

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1、“都市摩天楼”的最佳规划摘要本文给出了关于都市摩天楼最佳规划问题的一个数学模型，我们采用LINGO软件作为辅助，运用典型事例分析法，将此模型所遇到的问题由繁化简，将模型苛刻的条件转为我们的有利分析思路，通过我们的努力钻研，给出了一个合理的方案，此方案的建立解决了现代楼房的构造和住房紧缺的问题。71．问题重述都市摩天楼是诺基亚收集上的经典游戏。其简化规则可以这样描述：有一个城市，其土地可以表示为一个5*5的方阵，每一个方格可以建一座楼房，共有四种楼房。蓝色楼房可以容纳100人，红色楼房可以容纳400人，绿色楼房可以容纳700人，黄色楼房可以容纳1000人。但是，若在某个位置盖红色楼房，

2、必须在这个位置周围9上，下，左，右；斜相临不算）有蓝色楼房。同样，若在某个位置盖绿色楼房，必须在其周围有蓝色和红色楼房；若要在某个位置盖黄色楼房，必须这个位置周围有蓝色，红色和绿色楼房。建楼的过程中，只要满足相临的条件即可。2．模型假设（1）不考虑城市的整体性，规划的美观性等其他种种因素的影响，而限制条件是唯一的因素（2）每所房子按照规定的人数居住，不存在超人数居住现象3．符号说明A表示蓝色房子的数量；B表示红色房子的数量；C表示绿色房子的数量；D表示黄色房子的数量；N表示总的人数（单位百人）；4．问题的分析与模型的建立4．1都市摩天楼规划的目标分析本题中，该城市如何建立房子，使该城

3、市容纳的人数最多，是亟待解决的问题。蓝、红、绿、黄色房子容纳的人数依次增多，应使后面的房子数多一些，以便容纳最多的人数，但是限制条件也越来越苛刻，本文即是解决这两者的矛盾性，分析各个因素，综合考虑。4．2影响优化规划的两个要素1．容纳量每种颜色的房子的容纳人数不同，在考虑建造时，应优先考虑容纳人数多的楼房建造，以使目标函数取得最大值。72．不同颜色楼房的相临的要求在建造楼房的过程中，必须满足B与A相临，C与B、A相临，D与C、B、A相临这一约束条件。如下图所示：ABCAABDC总结：在进行优化规划之时，需要对这两者进行量化考虑，运用两者的约束性，进行规划。建立目标函数：N=A+4B+

4、7C+10D且25=A+B+C+D5．目标函数的求解与验证为了使目标函数取的最大值，须使A、B的数量尽量少，而C、D的数量尽量多，所以规划时，要使A、B被C、D共用以减少其数量，因此，D、D或C、D尽量对角放置。由约束条件知方阵的四个顶角均不可以放置D即黄色房子。为了尽量满足D、D的对角放置，首先将D放置在中心位置，如下图：7ACBBABDABCCBDCAADCDBCBDAC此时，A=6，B=7，C=7，D=5所以：N=6+4*7+7*7+10*5=133；若如下布局：DADBDCDD若D全部对角排列，显然，C即绿色楼房无法满足约束条件，故舍弃。若使A位于中心，周围被四个D环绕，大致

5、位置如下：BABACCBDCBADADABCDBCCABAB则A=7，B=8，C=6，D=47所以：N=7+4*8+7*6+10*4=121；若是C在中心，其位置大致如下：CACABBABCDADCDACBABCACCBA则A=8，B=6，C=8，D=3所以：N=8+6*4+8*7+3*10=118；若B在中心，其大致位置如下：ABCACDCAABBDBDCCADBCABCAA则A=8，B=6，C=7，D=4所以：N=8+6*4+7*7+4*10=121；若D为最大值时，其大致位置如下：7ADBDABCACBADBDABCACBADBDA则A=8，B=7，C=4，D=6所以；N=8+

6、7*4+4*7+10*6=124经过以上对模型的大致假设，可以看出要使目标函数取得最大值，则要把D放在城市的中心位置。ABCDADCABCABDCADCADBADBAC则A=8，B=5，C=6，D=6所以：N=8+4*5+7*6+10*6=130；经过首末两次假设的结果比较，可以看出应使A、B，尤其是A中间化，而非边缘化，以增大A的共用率，减少其数量。7BCADAADBCDAADABBDCDCCADBA则A=8，B=5，C=5，D=7所以：N=8+5*4+5*7+7*10=133；通过分析，lingo程序的求解过程如下：Model:Max=100*a+400*b+700*c+1000

7、*d;a<=25;anda>=6;b<=13;andb>=0;c<=9;andc>=0;d<=6;andd>=0;@bin(a);@bin(b);@bin(c);@bin(d);End结果如下：Globaloptimalsolutionfound.Objectivevalue:2200.000Objectivebound:2200.000Infeasibilities:0.000000Extendedsolversteps:0Totalsolveriter