录像机计数器的用途

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1、§2录像机计数器的用途[问题的提出]老式的录像机上都有计数器，而没有计时器，一些录音机也有类似的情况．这种计数器有什么用呢，让我们从这样一个问题开始：一盘标明180分钟的录像带从头转到尾，用时184分钟，计数器读数从0000变到6061．在某一次使用中录像带已经转过大半，计数器读数为4450，问剩下的一段还能否录下一小时的节目．如果计数器读数随着录像带的转动是均匀增加的，那么由于4450已经显著地超过6061的三分之二，即录像带已经转过两小时多，所以显然不能再录一小时的节目．但是，只要你耐心地观察一下就会发现，读数并非均匀增长，而是先快后慢，这样，回答上面的问题就需要知

2、道计数器读数与录像带转过的时间之间的关系．本节的目的是要建立表述这个关系的数学模型．[问题的分析]计数器的读数是怎样变化的，它的增长为什么先快后慢，回答这些问题需要了解计数器的简单工作原理(图1)．第27页录像带有两个轮盘，一开始录像带缠满的那个轮盘不妨称为左轮盘，另一个为右轮盘．计数器与右轮盘的轴相连，其读数与右轮转动的圈数成正比．开始时右轮盘是空的，读数为0000，随着带子从左向右运动，右轮盘半径增加，使得转动越来越慢，计数器读数的增长也就越来越慢．在录像带的转动过程中，与微型电机相连的主动轮的转速当然是不变的，录像带靠压轮压在主动轮上，所以录像带的运动速度(线速度

3、)为常数(想想看，如果录像带通过磁头时的速度不是常数，我们看到的画面会是怎样的)，而右轮盘随着半径的增加，其转速当然越来越慢．我们要找出计数器读数(记作)与录像带转过时间(记作)之间的关系，即建立一个数学模型．[模型的假设]根据以上分析作如下的假设：1．录像带的线速度是常数；2．计数器读数与右轮盘转的圈数(记作)成正比，，为比例系数；3．录像带的厚度(加上缠绕时两圈间的空隙)是常数，空右轮盘半径为；4．初始时刻时，。[模型的建立]图2时间t与计数器读数n的关系建立与之间的关系有多种途径，一种很自然的想法是计算缠绕在右轮盘上的录像带的长度．当右轮盘转到第圈时其半径为，周长

4、为，圈的总长度恰等于录像带转过的长度，即考虑到比小得多，并代人容易算出（2）这就是我们需要的数学模型．另一种更简单的办法是考察右轮盘面积的增加，它应该等于录像带转过的长度与厚度的乘积，即第27页由此同样可以得到(2)式．读者还可以考虑如何用微积分的办法得到(2)式．思考对(1)，(3)式仔细推算一下，会发现由(1)得到的结果与(2)式有微小差别，你能解释这个差别吗?要利用模型(2)由计算，必须先确定其中的参数一种确定参数的办法是进行测量或调查，你能设计测量的办法吗?实际上，从建模的目的看，我们并不需要知道这4个参数的每一个，如果把(2)式改记作那么只需要确定两个参数即可

5、进行，和之间的计算．(4)式表明，和的关系不是线性的(这是通过观察和分析就知道的)，而是二次的(这只能通过数学建模确定)．与的这种函数关系可描绘成图2的曲线，直观地表明随着时间的增加，计数器读数的增长是越来越慢的．参数估计理论上，有两组数据就能算出(题目中已经给出一组：，所以再测试一组数据即可)．而实际上，由于测试有误差，一般应该用足够多的测试数据作拟合．为此，用这盘录像带测得了一组数据，如表2．我们用其中一部分数据()按照最小二乘法估计算出，得到，代人(4)式即得到需要的数学模型．[模型的检验]上面得到的模型除了要用参与拟合的数据作统计检验外(统计检验将在第10章作简

6、单介绍)，还应该用未参加建模的数据(如用表2中的另一部分数据第27页)进行检验．可以发现，结果也相当好．[模型的应用]对于本节开始提出的问题，当n=4450时，由(4)式算出分钟，剩下的一段带子尚可录下分钟的节目．当然，这个问题由上面的实测数据就能回答()时不到120分钟，显然还可录下1小时节目)，但是建立数学模型(4)式的意义在于，不仅在使用这盘录像带时，对于任意的计数器读数可以算出时间，而且揭示了“与之间呈二次函数关系”这个普遍规律．当录像带型号改变(或其它因素变化)时，只需再测量一批数据来估计参数，模型(4)式仍然能用．评注从提出日常生活中的一个实际问题人手，通过

7、观察计数器读数先快后慢的现象，了解它的工作原理，在相当合理的假设下，用几种简单的方法建立了计数器读数与录像带转过时间的数学模型，并且包含了参数估计、模型检验和应用等内容，是数学建模全过程的一个典型示例．第27页