利率的期限结构模型

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1、利率的期限结构模型摘要：本文试图用最简练和容易理解的表述，介绍关于期权定价的鞅方法的一些主要思想以及基本结论。稍微涉及到了一些偏微分方程的知识，但大都比较容易理解。主要是针对那些并不是专业的研究者，但是仍然对此感兴趣并想了解期权定价理论的读者。关键词：期权定价鞅测度到期（交割）套期保值未定权益Black-Scholes模型把利率假定为一个常量或者确定的函数，对于短期的类股票（stock-like）资产，它是一种可以接受的近似。但是，对于利率的衍生物，它却并不是合理的假设，因此我们必须解决这个随机利率的问题。建立利率的

2、期限结构模型有几种不同的方法，它们可以分为两种：短期利率模型和远期利率模型。这两种方法分别由Vasicek（1977）和Heath-Jarrow-Morton(1987,1992)最早提出。Flesaker和Hughston在1996年引入了一种新的方法建立利率的期限结构模型，我们将介绍这三种方法，其中包括一些著名的模型，而且会对一些利率衍生物的定价问题进行简要讨论。我们省略关于保值的讨论，读者可参阅Duffie(1996)，p140-141。Rogers在1997年提出了关于利率的期限结构和外汇利率的“潜在方法（p

3、otentialapproach）”，我们不介绍这个综合性方法，因为它在某种程度上超出了我们的范围。1.债券市场我们建立一个贯穿始终的坐标横轴，考虑在一个完备概率空间上的二维布朗运动，用表示的自然域流（naturalfiltration）。我们考虑一个金融市场，称为债券市场，它包括银行的存款和所有可能到期的贴现债券(或零息债券)。我们称不支付任何股息，以低于交割期面值的价格售出的金融债券为贴现债券。以下我们称在时刻s到期的贴现债券为s-债券，它在时刻的价格记为，假定等于（也就是一单位的银行存款）。当时间时，一个-债券

4、的到期收益（或简称收益）定义为(1)它是在当前时刻对利率的未来价值的一种测度。在不同的到期时刻得到不同的收益，这反映了关于未来利率的市场观念。在时刻上的收益曲线就是靠近的轨迹，收益曲线对于到期时间的依赖关系，称为利率的期限结构。在时刻上的短期价格定义为,当然，前提是这个极限存在的话。以后，我们假定对所有的都成立且可测，此外，。如果关于可微，那么就有另一种关于利率的未来价值的衡量方法叫做远期利率，它的定义如下-11-(2)知道远期利率，可以重新写出债券价格(3)利率衍生物是一种金融契约，它的支付由未来的利率或者债券价格

5、决定，因而具有随机性。为了能够给利率衍生物定价，我们需要在它有效期间内对利率或者债券价格建立动态行为模型，基本的原理是假定债券市场不存在套利。如果是确定的光滑函数，那么在无套利的情况下，必须具有如下形式这里是时刻上的短期利率。它表示在这种情况下，债券价格完全由短期利率决定。但是，在不确定的情况下，这不再成立。事实上，假设给定我们短期利率过程,它是一个可测的适应非负过程。如果是等价于的一个概率测度，我们写成（4）那么定义为债券价格，而是这个债券市场的等价鞅测度。所以不同的等价概率测度导出不同的债券价格模型。我们将会在下

6、段的讨论中看到对一种等价概率测度的选择依赖于对市场风险价格的指定。2.短期利率模型（1）单因素模型我们假定短期利率过程是建立在目标概率测度下的扩散过程（5）这里是一维布朗运动。因为在方程(5)里唯一的状态变量是短期利率，我们称这种模型为单因素模型(one-factormodel)。为了建立关于这个债券市场的短期利率模型，我们首先选择一个适当的等价于的概率测度，作为债券市场的等价鞅测度，然后，根据风险中性价值公式(4)建立债券价格过程。为简单起见，我们只考虑那些等价概率测度，它们关于的Radon-Nikodym衍生物有

7、如下形式（6）-11-这里是在上的波雷尔函数。因此，选择的概率测度包含了指定的函数。后者可用市场数据加以估计，因为是-债券的风险市场价格。一旦我们知道了函数，在(5)中建立的短期利率过程可以重新用“风险中性”的语言建立，如下（7）这里，是一个一维的-布朗运动,并且.通过Feynman-Kac公式我们知道，在一些规范的条件下，s-债券的定价过程可以表示为，这里是一个在上的函数，并且对于任意给定的，它是如下偏微分方程的唯一解（8）终值条件是。作为单因素模型的例子，我们现在给出两个最著名的模型：Vasicek模型和CIR模

8、型。在Vasicek模型中，假定短期利率过程在风险中性条件下（也就是在等价鞅测度空间中）满足以下形式的随机微分方程（SDE），（9）这里，，是正的常数，是下的布朗运动，这样的一个过程称为Ornstein-Uhlenbeck过程。短期利率看起来好像是股票的价格，但是两者之间重要的区别之一是短期利率在整个时间上总会趋向于某个长期平均水平，一个著名的