跨考教育2011数二真题解析

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1、2011数二真题一、选择题：1-8小题，每小题4分，共32分，下面每题给出的4个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）已知当时，函数与是等价无穷小，则(A)(B)（C）（D）【答案】【考点分析】本题考查等价无穷小量的概念。【解析】此时分子极限不等于零，所以要求分母极限也不为零，故必有，即，故由，得，故选（C）（2）已知在处可导，且，则（A）（B）(C)(D)【答案】【考点分析】本题考查极限的计算。计算是应该将极限式凑成导数的定义的形式。【解析】故选（B）（3）函数的驻点个数为（A）0（B）1（C）2（D）3【答案】【考点分析

2、】本题考查导数的计算。【解析】由知由的根的判别式，知有两个实根，故的驻点有两个故选（C）（4）微分方程的特解形式为（A）（B）（C）（D）【答案】【考点分析】本题考查二阶常系数线性微分方程的求解中特解的计算。考生直接利用对应的公式即可。由于微分方程的右端是两项相加的形式，故应该利用叠加原理。【解析】：设方程的特解分别为和，则原微分方程的特解为。由于特征方程的根为，故，故原微分方程的特解形式为。（5）设函数具有二阶连续导数，且，，则函数在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是（）ABCD【答案】【考点分析】本题考查二元函数取极值的条件，直接套用二元函数取极值的充分条

3、件即可。【解析】由知，，所以，，要使得函数在点(0,0)处取得极小值，仅需，所以有（6）设，则的大小关系是()（A）（B）（C）（D）【答案】【考点分析】本题考查定积分的性质，直接将比较定积分的大小转化为比较对应的被积函数的大小即可。【解析】时，，因此，故选（B）（7）设为3阶矩阵，将的第二列加到第一列得矩阵，再交换的第二行与第一行得单位矩阵.记,,则()（A）（B）（C）（D）【答案】【考点分析】本题考查初等矩阵与初等变换的关系。直接应用相关定理的结论即可。【解析】由初等矩阵与初等变换的关系知，，所以，故选（D）（8）设是4阶矩阵，为的伴随矩阵，若是方程组的一个基

4、础解系，则基础解系可为（）（A）（B）（C）（D）【答案】【考点分析】本题考查齐次线性方程组的基础解系，需要综合应用秩，伴随矩阵等方面的知识，有一定的灵活性。【解析】由的基础解系只有一个知，所以，又由知，都是的解，且的极大线生无关组就是其基础解系，又，所以线性相关，故或为极大无关组，故应选（D）二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）【答案】【考点分析】本题属于计算型的极限.。【解析】（10）微分方程满足条件的解【答案】【考点分析】本题考查一阶线性微分方程的求解。先按一阶线性微分方程的求解步骤求出其通解，再根据定解条件，确

5、定通解中的任意常数。【解析】原方程的通解为由，得，故所求解为（11）曲线的弧长【答案】【考点分析】本题考查曲线弧长的计算，直接代公式即可。【解析】（12）设函数，则【答案】【考点分析】本题考查反常积分的计算，计算积分时需要用到分部积分法。【解析】.（13）设平面区域是由直线，圆及轴所围成，则二重积分________.【答案】【考点分析】本题考查二重积分的计算。【解析】.（14）二次型，则的正惯性指数为【答案】【考点分析】本题考查二次型的惯性指数。只需求出二次型的特征值，再确定其中正数个数即可。【解析】二次型矩阵,由得的特征值为，正的特征值的个数记为正惯性指数，故正惯

6、性指数为.三、解答题：15-23小题，共94分请将解答写在答题纸指定位置上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（本题满分10分）已知函数，设,试求的取值范围.【答案】【考点分析】本题考查极限的计算的相关知识。解题时分别讨论两个极限和存在并等于零的条件，再求交集即可。【解析】由，所以至少，由，所以故，所以由，所以即，所以综上16.（本题满分11分）设函数由参数方程求的数值和曲线的凹凸区间及拐点.【答案】当时，是拐点当时，是凸区间，当时，是凹区间【考点分析】本题考查曲线的凹凸性和拐点。由于曲线是以参数方程的形式给出的，因此要先用参数方程的求导公式求出二阶导数

7、，再解不等式得到凹凸性和拐点。【解析】，当时，是极小值当时，是极大值当时，是拐点当时，是凸区间当时，是凹区间17.（本题满分9分）设，其中函数具有二阶连续偏导数，函数可导，且在处取得极值，【答案】【考点分析】：本题综合考查偏导数的计算和二元函数取极值的条件，主要考查考生的计算能力，计算量较大。【解】：由于在处取得极值，可知。故18．（本题满分10分）设函数具有二阶导数，且曲线与直线相切于原点，记是曲线在点外切线的倾角，求的表达式.19、（本题满分10分）证明：（1）对任意正整数，都有（2）设，证明数列收敛【考点分析】：本题考查不等式的证明和数列收敛性的证明，难度