《复变函数》复习提要：第5章

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1、复变函数期末复习提要第5章：解析函数的幂级数表示⒈了解复级数的基本概念；⒉理解解析函数的幂级数表示；⒊理解收敛圆及收敛半径的概念；　　⒋熟练掌握收敛圆及收敛半径的求法；⒌了解解析函数的零点并掌握其判别方法；⒍熟练掌握将函数在一点展成幂级数的方法；⒎了解解析函数的唯一性定理，掌握其证明方法。幂级数定义5.7称形如（5.5）或（5.6）的级数为幂级数，其中均为复常数。收敛圆收敛半径对于级数（5.5），总存在圆周，使得级数（5.5）在的内部绝对收敛，在的外部发散．我们称圆为级数（5.5）的收敛圆，称为级数（5.5）的收敛半径。求收敛半径的方法与数学分

2、析中的方法一样。定理5.7对于级数（5.5），若极限存在（有限或无限），则极限存在，并且有　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　其中的为级数（5.5）的收敛半径．当时，规定，当时，规定。解析函数的幂级数表示定理5.9设为区域，点，圆含于（图5-1），若函数3在内解析，则在内有（5.7）其中（5.8）且上述展式是唯一的。例1试将在点展成泰勒级数。解因为是的唯一有限奇点，所以，可在内展成泰勒级数，有　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

3、　　　　　　　　　　　　　　　　　解析函数的零点定义4.8设函数在点解析，若，则称点为的零点，若的零点满足，但则称点为函数的级（阶）零点。计算的零点的级别的方法定理5.11　点是不恒为零的解析函数的级零点的充分必要条件是其中，在点解析，且。例2试判断点是函数的几级零点。解因为　　　　　　　　　　　　　　　　　所以，若令，则在点解析，且，即满足定理5.11的条件，故点为函数的二级零点。　　解析函数的唯一性定理5.13　若　　⑴函数与在区域内解析。3　　⑵为内一无穷点集，且在内至少有一个聚点。　　⑶在上成立，则在内成立。解析函数的唯一性定理可以用来

4、在复平面证明我们过去熟知的一些等式。3