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《2 多项式插值与最小二乘拟合(12)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、在科学与工程等实际问题中，其数据模型（由实验或测量所得到的一批离散数据）容易得到。那么，能否通过处理这些数据来建立连续模型呢？从而可以对模型有更全面的认识！下面我们以一维的问题来说明，假设已经得到的离散数据模型(xi互异)根据寻找策略的不同，我们有插值问题和最佳平方逼近问题。为了得到的更多信息，我们首先要确定一个函数空间，在该函数空间中寻找的近似函数。插值与逼近引言6/12/20211若要求满足则相应的问题称为插值问题，上述条件称为插值条件，——插值节点；则相应的问题称为离散型最佳平方逼近问题（最小二乘问题）。我们还可以定义对函数的连续型最佳平
2、方逼近问题！p(x)——插值函数，若要求使得6/12/20212定义1：设函数组，若向量组线性无关，则称在点集上线性无关。定义2：设函数组，在[a,b]上连续，若存在不全为零的数使得则称在[a,b]上线性相关，否则，称为线性无关。若中，任何有限个函数在[a,b]上线性无关，则称为[a,b]上的线性无关函数系。预备知识6/12/20213代数(多项式)插值问题最小二乘拟合问题6/12/20214代数(多项式)插值问题1、概述；2、拉格朗日插值；3、分段插值返回6/12/202151代数插值概述取函数空间为不超过n阶的多项式集合，这样的插值问题称为
3、代数(多项式)插值问题，即求，使得如下插值条件成立——插值多项式定理1插值多项式存在并且唯一。证：存在性，有唯一解！即n+1个插值条件可以唯一的确定一个不超过n阶的插值多项式！唯一性，（利用n阶多项式在复数域内至多有n个零点可证！）6/12/20216显然以作为在插值点处的近似值是有误差的，记证：不妨设，做函数（多项式插值余项定理）定理2设在上连续，在内存在，则，有其中且依赖于，——插值余项。6/12/20217由罗尔定理可知，在(a,b)内至少有一个零点，记作，即得证！#其中且依赖于，注：(1)(2)在实际计算时插值节点应尽量选在插值点x的附
4、近，以使尽可能小！(3)对于不超过n次的多项式，其n阶插值多项式就是其本身！返回6/12/202182拉格朗日(Lagrange)插值定义：设n次多项式lj(x)满足则称之为拉格朗日插值基函数。利用待定系数法可得从而可得满足插值条件的插值多项式——拉格朗日插值多项式显然，在上线性无关。6/12/20219线性插值插值基函数：插值多项式：求满足插值条件的插值多项式，二次插值（抛物插值）求满足插值条件的插值多项式，插值基函数：插值多项式：6/12/202110例1已知数表i0123xi22.12.22.3yi1.41421.44911.48321.
5、5166试用抛物插值求的近似值。解:选取最靠近2.05的节点x0,x1,x2为插值节点，计算可得#问题6：编程实现任意节点的拉格朗日插值多项式的计算，并画出插值节点和插值多项式！返回6/12/2021113分段插值实例演示：取等分节点，分别用n=1,2,4,6,8,10时的多项式插值函数逼近f(x)：作图如下：问题7：通过调用编写的拉格朗日插值多项式函数实现本演示实例！6/12/202112我们看到利用多项式插值函数逼近函数f(x)，n小不行，n大也不行。这种现象我们称为龙格（Runge）现象。这是为什么呢？下面分析多项式插值余项的估计式(1)
6、
7、f(n+1)(x)
8、的值，常常随n的增加呈指数级增长，比(n+1)!快得多！(2)的值，在的均值附近比较小，而在边界的附近随n的增加而增加。(3)当n比较小时，说明在区间[a，b]内取的节点少，以至于插值多项式不足以反映被插函数f(x)的性态！通常，6/12/202113（一）分段线性插值将[a,b]n等分，在每个小区间[xi,xi+1](i=0,1,…,n-1)上，作线性插值(1)(2)在每个小区间[xi,xi+1]上为一个次数不高于1的多项式;—分段函数易见，(3)可以证明，若则数值稳定性好计算简单光滑性差从而得分段线性插值的定义6/12
9、/202114分别用n=4,10的分段线性差值逼近函数数值实验作图演示:6/12/202115(1)s(x)在每个小区间[xi,xi+1]上，是次数不超过三的多项式；(2)(3)（二）三次样条插值给定：y=f(x)的数据(xi互异)问题的提法确定函数s(x),使满足(1)、(2)的函数s(x)称为三次样条函数；满足(1)、(2)、(3)的函数s(x)称为三次样条插值函数。注:插值条件6/12/202116确定三次样条插值函数的条件因为三次样条函数s(x)的确定需要4n个条件，可以确定了4n-2个条件，所以还需补充二个条件（边界条件）。由插值条件
10、及连续性条件边界条件有以下三种：(1)(2)(3)周期性条件自然边条件6/12/202117故为[xi,xi+1]上的线性函数，确定三次样条插值函数的
